函数、极限、连续(IV)

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1、高等数学（上）1函数2极限3极限的运算4无穷小与无穷大5函数的连续性6数学建模初步（一）第1章函数、极限、连续本章主要内容1.1函数本节内容函数的概念及其性质反函数和复合函数初等函数区间与邻域区间数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。显然，数集是关于数的集合。常用的数集及其代号是：自然数集N（包括0和所有正整数）、整数集Z、有理数集Q和实数集R。其中，涉及最多的是实数集R。1.1.1函数的概念为点的δ邻域，记作；点和数δ分别称为这个邻域的中心和半径。数集称为点的空心δ邻域，记作。邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。邻域设与δ是两个实数，且δ＞0，数集称

2、定义1-1设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如果对于每一个数x∈D，变量y按照某种对应法则有惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y＝f(x)并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量，f是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域，也可以记作D(f)，数集W＝{y

3、y＝f(x),x∈D}为函数的值域，也可以记作Rf或f(D)。函数函数的表示方法有解析法（也称公式法）、图像法、表格法等等。还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。含有一个自变量的函数称为一元函数。含有多个自变量的函数称为多元函数。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总

4、是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数．函数的定义域函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。判断函数有意义的方法有下列几种：①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；⑥若已知y=f(x)的定义域是[a,b],求y=f[φ(x)]的定义域，方法是解不等式组a≤φ(x)≤b练习：求下列函数的定义域例1求下列函数的定义域定义1-2设函数y＝f(x)在区间I内有定义。如果存在正数M，使得对任意的x，均有

5、f(x

6、)

7、≤M则称函数y＝f(x)在区间I内是有界的。M为y＝f(x)在区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称函数y＝f(x)在区间I内是无界的。有界函数的图像在区间I内被限制在y＝－M和y＝M两条直线之间。函数的性质1、有界性2、奇偶性定义1-3设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称（即若，则必定）。如果对任意的，均有f(－x)＝f(x)则称函数y＝f(x)是偶函数；如果对任意的，均有f(－x)＝－f(x)则称函数y＝f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于y轴对称。学过的函数中，奇函数有y＝x、y＝sinx、y＝tanx等，偶函数有

8、y＝x2、y＝cosx等。而y＝2x和y＝lgx既不是奇函数，也不是偶函数。研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。周期函数的周期通常是指它的最小正周期。例如，y＝sinx和y＝tanx都是周期函数，前者的周期是2π，后者的周期是π。3、周期性定义1-4设函数y＝f(x)的定义域为D。如果存在常数T＞0，使得对任一，都有，且等式一定成立；则称函数y＝f(x)是周期函数，T称为该函数的周期。定义1-5设函数y＝f(x)在区间I内有定义。如果对任意的，且x1＜x2时，均有f(x1)＜f(x2)则

9、称函数y＝f(x)在区间I内是单调增加的。如果在同样条件下恒有f(x1)＞f(x2)则称函数y＝f(x)在区间I内是单调减少的。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。4、单调性定义1-6设函数y＝f(x)的定义域为D，值域为Rf。若对每一个，都有惟一确定的满足f(x)＝y，那么就可以把y作为自变量，而x是y的函数。这个新的函数称为y＝f(x)的反函数，记作y＝f－1(x)这个函数的定义域为Rf，值域为D。相应地，函数y＝f(x)称为直接函数。1.1.4反函数显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个坐标系中，则它们的图形是关于直线y＝x为对称的

10、。例求y＝log3(2x－3)的反函数。若函数y＝f(x)在某个定义区间上单调增加或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。实际上，并不是任何函数都有反函数的。那么，什么样的函数存在反函数呢？解：从方程y＝log3(2x－3)中解出x为则所求反函数为对于函数y＝sinx，如果令x＝ωt，并将它代入y＝sinx，就可以得到函数y＝sinωt。可以看成由y＝sinx和x＝ωt复合而成。1.1.4复合函数定义1-7设函数y＝f(u)的定义域是D1，函数u＝φ(x)的定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时，u＝φ(x)的函数值均在y＝f(u)的定义域D1

11、内。对于这样取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应