几何造型技术员(II)

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1、第三章几何造型技术几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。描述物体的三维模型有三种:线框模型、曲面模型和实体模型。线框模型用顶点和棱边来表示物体。由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体；它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物

2、体相互关联的性质，如是否相交等。实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础几何造型的历史曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、PierreBézier、汽车外形设计的UNISURF系统。实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。独立发展起来，又合二为一。主流：基于线框、曲面、

3、实体、特征统一表示的造型设计系统3.1参数曲线和曲面3.1.1曲线曲面参数表示显式表示:y=f（x）隐式表示:f（x，y）=0参数表示:P(t)=[x(t),y(t),z(t)]显式或隐式表示存在下述问题：1）与坐标轴相关；2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3)不便于计算机编程。参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：空间曲线上任一三维点P可表示为：参数表示例子：直线圆参数表示的优点：1）以满足几何不变性的要求。2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4）便于处理

4、斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。3.1.2位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；切向量(切矢量)选择弧长s作为参数，则是单位切矢根据弧长微分公式有：于是有，即为单位矢量法矢量与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N矢量积是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢我们可以推导出：T(切

5、矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。曲率和挠率即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率曲率k的倒数称为曲率半径。挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率..对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：3.1.3插值、拟合、逼近和光顺给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：y=

6、ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。抛物线插值:已知在三个互异点的函数值为，要求构造一个函数使抛物线在结点处与在处的值相等拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a.具有二阶几何连续性(G2)；b.不存在多余拐点和奇异点；c.曲率变化较小。3.1.4参数化过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有

7、无数条，这是因为对应地参数t,在[0,1]区间中有无数种取法。即P0、P1和P2可对应不同的参数值，比如，或其中每个参数值称为节点(knot)。对于一条插值曲线，型值点与其参数域内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。参数化常用方法有：均匀参数化(等距参数化)节点在参数轴上呈等距分布，+正常数。累加弦长参数化这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化