几何形体上积分的应用

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1、第六节几何形体上积分的应用一、几何应用二、物理应用几何形体上的积分：重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分第一型积分二重积分、三重积分空间区域的体积平面或空间曲线段L或的弧长空间曲面片的面积平面区域D的面积的度量一、几何应用（1）用三重积分计算，.利用柱面坐标,有计算旋转抛物面和平面的体积.所围成的空间区域例1解（2）用二重积分计算圆柱体曲顶柱体例2求半径为a的球的表面积..解上半球面取坐标如图，于是瑕积分二、物理应用以平面薄片为例，推出质量，重心，转动惯量，引力等公式.其他几何形体类似.平面薄片的质量

2、平面薄片的质量为平面薄片的重心由力学知道,若质点系由m个质点组成，它们位于处，其质量分别为则质点系的重心坐标为其中分别是质点系对y轴和x轴的静力矩.整个薄片对y轴和对x轴的静力矩是（由微元法）将薄片划分为若干小块,把它们看成质点系.取一个小块看成一个质点，其质量为它对y轴和x轴的静力矩为平面薄片的重心坐标为静力矩求位于两圆之间的均匀薄片的重心.由于对称性有薄片面积为由公式得例3解设面密度为重心坐标为特别地，当薄片是均匀密度时，这时重心也称为形心.重心坐标为类似有立体的重心坐标为求均匀半球体的形心.由对称

3、性，形心在z轴上，所以例4解形心坐标是（球坐标）平面薄片地转动惯量平面薄片对x轴和对y轴地转动惯量为和由力学知，质点对轴的转动惯量质量质点到轴的距离一小块薄片对x轴和对y轴地转动惯量为求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为)对其直径边的转动惯量.解取坐标系如图，（极坐标）转动惯量为例5例6求半径为R、中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为常量）.解取坐标系如图，圆弧上的点(x,y)到对称轴(x轴)的距离平方为所以有平面薄片(在xoy面)对空间质点的引力平面薄片对质点的引力的三个分力是小结几何形

4、体的度量：一、几何应用1.平面区域和曲面的面积2.曲线弧的长度3.立体的体积二、物理应用1.重心（形心）2.转动惯量3.引力通过本节的学习应从中领悟用元素法建立简单的几何量和物理量的积分表达式的方法.作业p.132习题10-15.p.159习题10-47.p.116习题9-42.12.复习几何形体上的积分：重积分和第一型曲线、曲面积分