冲击响应和阶跃响应

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1、5.3冲击响应和阶跃响应1.冲击响应定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即:因为只有在t=0时,δ（t）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t＞0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：2.h(t)求法例:已知电路如图，iL(0-)=0,求iL(t)解：（1）建立电路方程：(1)直接法:（等效初始条件法）(2)将其转换为等效零输入响应：（3）求解：三要素法得：(2)比较系数法因为由电路系统的（1）问题转为（2）问题，电路系统

2、的解应具有相同的函数形式，一般（1）对于n＞m时，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为（2）n=m时，若特征根互异：（3）n

3、定微分方程得：即左右两端相应项的系数必须相等:∴冲击响应为：解得：这里我们巧妙地回避了求h(0+)和h(1)(0+)的问题。综上所述，我们将求冲击响应的方法步骤归纳如下：(1)求出电路微分方程的特征根。(2)写出冲击响应解的表达式。(3)对h(t)求导，求导的次数由方程的阶次n决定（注意δ(t)抽样性）。(4)将h(t)及其导数和δ(t)代到电路微分方程，比较两端相应项系数（即令其相等），求得Ai，从而得到h(t)。(3)微分法定理：若已知电路系统的阶跃响应为g(t)，则其电路系统的冲击响应由下式决定：例：已知LTIS，当激励

4、为12U(t)时，响应为(24－12e-2t)U(t)，试求单位冲击响应。（2）求h(t)解：（1）单位阶跃：(4)拉普拉斯变换法（留待ch8讨论）2.阶跃响应(1)定义：LTIS在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状态响应，叫做单位阶跃响应。即：(1)（2）比较系数法：系统阶跃响应的求法与冲击响应的求法类似，但不同的是，根据U(t)的定义，t>0，U(t)≠0.∴系统的阶跃响应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得：强迫响应：(2)求阶跃响应的常用方法（1）由h(t)→g(t)∵方程（1）中左

5、端最高阶为g(n)(t)，右端最高阶为U(m)(t)∴即使m=n，g(t)中也不会包含δ(t),故在n≥m时，若（1）式特征根互异，则自由响应：故由此可采用求冲击响应类似的方法，求得g(t)(1)线性性（即迭加性和均匀性）定理1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。c.零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。3.LTI电路系统的基本性质注意：（1）当系统同时

6、存在n个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。（2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。（3）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。我们对第二条进行证明设一阶电路方程为（1）叠加性若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和y2(t)，它们应当满足方程（1）（1）（2）（3）将上两式相

7、加得：（4）如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则相应的零状态响应为y(t)，则必然有根据微分方程的唯一性充分条件，式（4）和（5）中，初始状态和激励相同，而1/τ仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。（5）这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。（2）若在上述同一电路的相同位置，t=0时接入激励αx1(t)α是实数，相应的零状态响应为y3(t)，则：（6）而如果用α同时乘方程（2）的两边，则得：（7）于是：y(t)=y1(t)+y2(t)根据微分方程解的唯一性

8、充分条件，比较（6）（7）两式得：这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。(2).延时不变性