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1、教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法§3.2向量组的线性相关性教学目的：理解向量组的线性相关、线性无关的定义；掌握向量组的相序相关性的判定定理教学重点：掌握向量组的相序相关性的判定定理教学难点：矩阵的秩及向量组的秩教学过程：复习引入1.什么是向量？定义1个数组成的有序数组或，称为一个维向量，简称向量。一般用小写的粗黑体字母表示，如。这节课我们来学习向量组的线性相关性。新课讲授：一、向量组线性相关性的定义定义5对于向量组，如果存在不全为零的数，使得（3-3）
2、称向量组线性相关.反之，如果只有在时（3-3）式才成立，就称向量组线性无关.注意：1.若线性无关，则只有当，才有.2.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.3.向量组只包含一个向量时，若则说线性相关，若，则说线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量向量组，它线性相关的充要条件的两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线（如图3.1）；三个向量相关的几何意义的三向量共面。10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法(1)由两个
3、2维向量构成的向量组A:a1,a2，线性相关的几何意义是a1,a2共线.在直线y=2x上取三点M1,M2,M3,作三个向量:，，。显然,这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.(2)由三个3维向量构成的向量组线性相关的几何意义是这三个向量共面.如给定平面p:x+y+z=3.在p上取三点:M1(1,1,1),M2(2,0,1),M3(0,2,1),作三个向量:，，，向量组a1,a2,a3线性相关,因为2a1-a2-a3=0.(3)4维向量组线性相关的几何意义该向量组所对应的非齐次线性方程组
4、中的四个方程所表示的四个平面交于同一条直线.10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法例3判断向量组的线性相关性。解设任意的常数，都有所以，当且仅当才有因此，线性无关.称为基本单位向量组.例4判断向量组的线性相关性.解设任意的常数，都有所以，当且仅当,才有.由于,满足上面方程组，因此,所以线性相关.例5设向量组线性无关，又，，，试证明也线性无关.证明设，即10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法，.由线性无关知，
5、解此方程组，可以得到非零解，于是线性相关.二、线性表示（线性组合）除了根据定义来判定向量组的线性相关性外，还有什么其他判定方法呢？在我们讲向量组线性相关的判定定理之前，我们先学习线性表示（线性组合）的定义。定义6给定向量和向量组，如果存在一组数，使得，则称为向量组的一个线性组合，或者说可由向量组线性表示，称为组合系数。例6设，，，，，试问能否由线性表示？若能写出具体表达式。解令于是得线性方程组因为，由克拉默法则求出，，，，所以，因此，能由线性表示。10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与
6、方法、教具使用时间教学内容与方法例7设，，，试问能否由，线性表示？解令，于是得方程组由第一个方程得，代入第二个方程得，但不满足第三个方程，故方程组误解，所以不能由，线性表示。三、线性相关性的判定定理1向量组线性相关的充分必要条件是：中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证明设中至少有一个向量可由其余个向量线性表示，不妨设可由线性表示，即，于是，显然，不全为0，故线性相关.反过来，设线性相关，则存在不全为零的数，使，不妨设，于是，即可由线性表示.该定理的逆否命题：向量组线性无关的充分必要条件是其中任意
7、一个向量都不能由其余向量线性表示.注：(1)若令元向量，则10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法线性无关.(2)任何一个元向量都可由线性表示，即.定理2若向量组线性无关，而线性相关，则可由唯一线性表示.证明因为线性相关，所以存在不全为零的数，使得，可以断定（否则，与线性无关矛盾）.于是可由线性表示，即.这种表示法是唯一的，因若，则，由于线性无关，必有，即，所以由线性表示的表示法是唯一的.将一个向量组中的某些向量组成的向量组称为原向量组的部分组。定理3有一
8、部分组线性相关的向量组一定线性相关.证明设向量组有一部分组线性相关，不妨设这个部分组为，则有不全为零的数，使得.从而不全为零的数，使得，故线性相关.推论含有零向量的向量组必线性相关.10教案用纸时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法、教具使用时间教学内容与方法该定理的逆否命题是：如果线性无关，则其任一部分向量组成的向量组也线性无关.定理4设为的一个排列，和为两个向量组，其中，，即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量，则这两个向量组有相同的线性相关
