傅立叶(Fourier)级数

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1、§4傅立叶(Fourier)级数在科学实验和工程技术中常碰到一些周期运动,这种运动要用函数来表示.这就是周期函数.设f(x)为周期为l的周期函数,它必满足:f(x+l)=f(x).通常我们希望l能是最小正周期,但有时达不到.一、三角级数三角函数系的正交性最简单的一种周期运动——简谐运动.可用正弦函数来描述:对于一般的较复杂的周期函数,人们不禁会问,它们能否用一系列的(多个)正弦函数来表示,这也就是我们下面所要讲的问题.首先,我们来介绍什么是三角函数.把无穷多个简谐振动进行迭加在一起便得到一个无穷级数。1、三角级数谐波分析三角级数2、三角函数系的正交性三角函数系三角函数系中任何两个相同的函

2、数的乘积在区间[]上的积分不等于零即：二、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?设f(x)是周期为2的周期函数1、傅里叶系数(2)【证明】傅里叶系数傅里叶级数问题:2、狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.将f(x)展开成傅里叶级数.(3)傅里叶展开式为：将f(x)展开成傅里叶级数.(3)傅里叶展开式为：周期延拓设f(x)只在[]上有定义我们可以在[)或(]外补充函数f(x)的定义使它拓广成周期为2的周期函数F(x)。（1）在()内F

3、(x)f(x)，所以在()内便得f(x)的傅里叶级数展开式；（2）在端点x=和处，由收敛定理可知：解:所给函数满足狄利克莱充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.例2将函数展开为傅立叶级数.所求函数的傅氏展开式为试证明：证练习结论可证.例3三、正弦级数和余弦级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1、奇函数和偶函数的傅里叶级数证明奇函数同理可证(2)定义偶函数定理证毕.解所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.2、奇延拓与偶

4、延拓（非周期函数的周期性开拓）则有如下两种情况奇延拓偶延拓解(1)求正弦级数.(2)求余弦级数.练习展成正弦级数.解：此函数满足收敛定理的条件，可以展开成正弦级数,其系数为当x为连续点时，有当x=0时，该级数收敛于当x=h时，该级数收敛于当x=π时，该级数收敛于四、以2l为周期的傅里叶级数我们所讨论的周期函数都是以2为周期的但是实际问题中所遇到的周期函数它的周期不一定是2怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？【问题】我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数【提示】定理则有则有解(1)

5、求正弦级数.(2)求余弦级数.解:对M(x)进行奇延拓.则例8将函数展开2l为周期的正弦级数.对上式右边的第二项令tlx则当n246时bn0当n135时解解