第1章--傅立叶(Fourier)分析

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1、第1章傅立叶（Fourier）分析小波分析是在傅立叶分析的基础上发展起来的。因此，为了深入了解小波的由来和发展，理解小波分析的概念、实质以及它的优点，有必要回顾和适当展开讲解我们熟悉的傅氏分析，并指出它存在的问题，为后面讲小波作铺垫。1.1函数（模拟信号）的傅氏级数1.物理背景在实际问题中，以为周期的复杂的波都可以用以2π为周期的函数（模拟信号）f(t)来描述；f(t)可分解为不同频率、不同振幅和不同位相的谐波信号，表达式如下：(1.1)其中，称为第n次谐波，An表现振幅，n表现频率，表现相位。式（1.1）的实质是将f(t)在正交的三角函数系（也称基底）上展开

2、，也就是谱分解。利用三角函数系在2π上的正交性，可得：(1.2)只要对式（1.2）的自变量t作变换，令就可得到以T为周期的函数（模拟信号）的傅氏级数，即18(1.3)称式（1.3）中的an、bn为傅氏系数。对式（1.2）作简单变形，f(t)的傅氏级数还可表现为另一种形式，即其中，和分别表现频率为的谐波的振幅和相位。式（1.2）和（1.3）表明，周期为T的函数确实可以分解为若干简谐波（也称单波）之和，也称合成波。这种分解的物理背景是明确的，即某种波动（例如时域信号、北半球300hPa某纬度带的高度廓线即空域信号等）可以线性地表现为简谐波的线性叠加。这些谐波的频率

3、是离散出现的，不是连续出现的，它们是基频的整数倍。2．傅氏级数的复指数形式利用复变函数的基本知识，把代入式（1.2），就有称式（1.2）和式（1.3）为傅氏级数的三角形式，称式（1.4）为傅氏级数的复指数形式，其中称为f(t)的频谱。这两种表现形式之间的联系可由下面的关系式来体现：傅氏级数的三角形式是仅用正频率的谐波来表现周期函数f(t)18的，这是一种接近物理实验的形式；傅氏级数的复指数形式要用正频率和负频率一起来表现周期函数f(t)，它不仅可以转化为三角形式，而且在表现方面接近于后面即将介绍的傅氏变换的形式。时域中以T为周期的函数（模拟信号）f(t)展开为

4、傅氏级数，从数学角度看，它有两方面的应用。一方面，时域中的f(t)仅是宏观表现的，但其傅氏级数却表现了频域中的细节（各种谐波成分），时域中周期函数（模拟信号）关于叠加、平移、放（伸）缩、卷积、相关、微分、积分等数学运算也可转化到频域中作细致分析。这些分析性质类似于傅氏变换的相关性质，将在后面讨论。另一方面，傅氏级数是一个无穷项的级数，取其有限项可近似地表现原来的f(t)，项数取得越多，逼近程度越好。3．函数（模拟信号）的频谱根据傅氏级数定义和物理含义可知，要观察和分析某个时域周期函数（模拟信号），只要观察和分析傅氏级数的展开系数就可以了。，它们关于n=0偶对称

5、，cn的实部能表现波分量的大小；，它们关于n=0奇对称，cn的实部能表现谐波分量的大小。据此理由，称为离散频谱。复系数cn模量，它反映了频率为的谐波分量的幅值大小，它是关于n=0偶对称的，称为离散振幅谱。反映了关于频率为谐波分量的能量，它关于n=0偶对称，称为离散功率谱。cn的复角关于n=0奇对称，它反映了频率为谐波分量的相位，称为离散相位谱。对同一周期信号的不同周期段而言，因为它仅仅是原周期信号的平移表现，所以它们的离散振幅谱和离散功率谱是相同的，但它们的离散相位谱有区别。对不同性质的两个信号而言，因为它们的本质特性有区别，所以它们的离散振幅谱、离散功率谱和

6、离散相位谱都是不同的。这就是说，时域信号的不同特征都会细微地表现在离散频谱中，这就是傅氏级数能够用于分析信号特征的应用原理。5．时域函数（模拟信号）的回复回复也就是重构或重建。其原理是利用f(t)的频谱数据，利用它与傅氏级数的关系，理论上可准确地回复f(t)；但在实际应用中，仅能利用的有限数据来近似回复f(t)。若f(t)是光滑的周期函数，通过理论分析知，当f(t)是m次连续可微函数即f(t)时，有.这就是说，函数越光滑，当时下降就越快，在这种情况下，就可以用较少项数的傅氏级数较好地近似回复f(t)。傅氏级数对函数（模拟信号）的逼近效果在数值分析中有相关的描述

7、。在傅氏级数中，是正交基底。若记近似回复函数为，记其误差为，则是对f(t)的最佳平方逼近，且18从傅氏级数的时域和频域的对应关系方面来考虑问题，因为修改频谱相当于修改信号f(t)的时域表现，所以可以按照某些实际要求去修改频谱，也可以在频域中设计出具有某种特性（例如对谐波频率的低通、带通、高通特性）的频谱，再将其回复到时域则可得到满足各种要求和特性的时域信号了。在气象时间序列中，经常用这种方法进行滤波。1.2函数（模拟信号）的傅氏变换前面讨论了周期函数可用离散频率为的谐波来表现。一个定义在R（实数域）上的非周期f(t)能否用谐波来表现呢？1．傅氏积分公式将非周期

8、函数f(t)看作周期为T的函数fT(t