信号分析与处理第4章

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1、第4章离散时间信号的分析4.1连续时间信号的时域抽样4.2离散时间信号的z域分析4.3离散信号的傅里叶分析第4章离散时间信号的分析信号分析与处理4.3离散信号的傅里叶分析4.3.1离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系一、s平面与z平面的映射关系（即或第4章离散时间信号的分析其中，。重复频率为1推导）2结论：由此可得s～z平面有如下的映射关系：1）、s平面的整个虚轴（）映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面（）映射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面（）映射到z平面是单位圆的圆内。4.3.1离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系4.3离散信号的傅里叶分析2）s平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴

2、；s平面平行于实轴（ω=ω0是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。3）s平面和z平面的映射关系不是单值的（多对1）。由于是以2π为周期的周期函数，s平面与z平面的映射关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上二、Z变换与傅里叶变换的关系1）连续信号虚轴上的拉普拉斯变换对应于傅立叶变换，离散时间信号单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。2）因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包含单位圆。4.3.1离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系4.3离散信号的傅里叶分析一

3、、离散时间傅里叶变换的定义当z在单位圆上取值，即可得到离散时间序列x(n)的傅里叶变换（DTFT）和傅里叶反变换（IDTFT）。4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)1推导1）X(ejΩ)又可以写成X(ejΩ)表示序列x(n)的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，

4、X(ejΩ)

5、称为幅度频谱，φ(Ω)称为相位频谱，二者都是Ω的连续函数。2）由于ejΩ是变量Ω以2π为周期的周期性函数，因此X(ejΩ)也是以2π为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随Ω周期变化的。4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析2特点一、离散时间傅里叶变换的定义3举例：例4-10求的离散时

6、间傅里叶变换，其中

7、a

8、<1。解离散时间单边指数信号的傅里叶变换为显然，要使上式成立，必须有

9、a

10、<1。图4-16(a)和(b)给出了a=0.8时X(ejΩ)的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出0≤Ω≤2π或-π≤Ω≤π区间的频谱，如图4.16(c)和(d)所示。例4-11求序列x(n)=δ(n)的傅里叶变换。解由定义式得4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析一、离散时间傅里叶变换的定义例4-13若求其傅里叶变换X(ejΩ)。解：由定义式得4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析其中，幅频特性为相频特性为1.线性2.时移与

11、频移设x(n)↔X(ejΩ)，时移性质为设x1(n)↔X1(ejΩ)，x2(n)↔X2(ejΩ)ax1(n)+bx2(n)↔aX1(ejΩ)+bX2(ejΩ)二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析频移性质为4.反转与DTFT的对称性3.时域信号的线性加权设x(n)↔X(ejΩ)，那么线性加权性质为二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析反转性：设x(n)↔X(ejΩ)则[x(-n)]=X(e-jΩ)对称性：设Even,Odd分别为x(n)的偶序列和奇序列，则x(

12、n)为实偶对称函数，则X(ejΩ)为实偶对称函数x(n)为实函数，则X(ejΩ)的模为偶对称函数，相位为奇对称函数时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejΩ)=X(ejΩ)·H(ejΩ)5.卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)则频域卷积定理4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质6.帕斯维尔(Parseval)定理4.3.2离散时间傅里叶变换(DTFT)4.3离散信号的傅里叶分析二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质该定理说明，离散时间信号的总能量等于其傅里叶变换模平方在一个周期内积分取平均，即时域总能量等于频

13、域一周期内的总能量。4.3.3离散周期信号的傅里叶级数DFS周期序列x(n)不满足绝对可和的条件，其FT不存在。它的频域分析可以采用两种方法，一种是采用离散傅立叶级数DFS(DiscreteFourierSeries)，另一种是引入奇异函数，用奇异函数表示它的傅立叶变换。4.3离散信号的傅里叶分析一定义DFS(离散傅立叶级数)的正变换DFS的反变换。3)离散傅立叶级数所有谐波成分中只有N个是独立的