信号分析与处理第4章

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1、在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。4.2离散时间信号的z域分析4.2.1z变换的定义1.抽样信号的拉氏变换取样信号xS(t)可写成连续时间信号x(t)乘以冲激序列，即取上式的双边拉氏变换，考虑到得2.双边z变换：上式是复变量z的函数。3.单边z变换：令，或，则这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z的变换式，即当定义式中n的取值范围为n≥0时,双边z变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。1.z变换存在的条件z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该

2、幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z变换存在的充分必要条件。2.z变换的收敛域满足存在条件的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。简记为ROC（RegionofConvergence）。若x(n)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。4.2.2Z变换的收敛域例4-1试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。(1)(2)解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为X1(z)的ROC为，即X2(z)的ROC为，即要描述一个序列的Z变换，必须包括Z变换的表达式和Z变换的收敛域ROC两个部分。

3、由上例可以看出，同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列是不相同的。序列特性对收敛域的影响1.有限长序列有限长序列的z变换，其收敛域可以直观分析。如果有限长序列x(n)为有界序列，可以看出因果序列的收敛域包括z=∞点。n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞n1<0，n2>0时，00时，0

4、z

5、＜∞。(2)第二项为因果序列，其收敛域为r1<

6、z

7、≤∞，根据级数收敛的阿贝尔定

8、理，存在一个最小收敛半径r1>0，级数在以原点为中心，Rx-为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。(3)两项共同的收敛域为r1<

9、z

10、<∞。如果n1≥0，收敛域为r1<

11、z

12、≤∞。n1=0是因果序列。根据根值法求右边序列的r1：根据级数收敛的阿贝尔定理,n→∞3.左边序列左边序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。左边序列的z变换表示为(1)如果n2>0，第二项为有限长序列，其收敛域为0

13、z

14、

15、z

16、

17、0,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为r2)的圆内，收敛域为0≤

18、z

19、

20、z

21、

22、z

23、≤∞)的公共收敛区域。如果r2>r1，其收敛域为r1<

24、z

25、

26、0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1，即根据双边Z变换的定义式(a)单位脉冲序列；(b)单位冲激信号由δ(n)作为激励（输入）产生的响应（输出），称为单位脉冲响应：2.单位阶跃序列ε(n)ε(n)与δ(n)的关系:δ(n)=ε(n)–ε(n-1)图4-13单位阶跃序列反因果阶跃序列ε(-n-1)如图4-14所示。图4-14反因果阶跃序列单位阶跃序列ε(n)如图4-13所示。单位阶跃序列ε(n)的z变换：显然不论n为何值(n≥0)，都有ε(n)=1，因总有一个且只有一个m=n

27、，使δ(n-m)=1。令n–m=k，m=0时，k=n；m=∞时，k=-∞，得显然不论n为何值(n≥0)，都有ε(n)=1，因其中，只有一项δ(0)=1，其余项δ(k)=0。对应的反因果序列的Z变换为令m=-n代入上式，得3.矩形序列RN(n)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，RＮ(n)的波形如图所示。矩形序列常用来表示序号的取值范围，如可以写成：矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：矩形序列RN(n)的Z变换为4.指数序列(1)实指数序列，a为实数如