信号分析与处理第3章

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1、第三章连续时间信号处理3.1线性时不变连续系统的时域数学模型3.1.1微分方程的建立3.1.2微分方程的求解3.2计算零状态响应的卷积积分法3.2.1零输入响应与零状态响应3.2.2冲激响应3.2.3用卷积积分计算零状态响应3.3系统函数3.3.1系统函数的定义3.3.2系统的三种描述方式3.3.3用系统函数计算系统的零状态响应3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性3.4信号的频域处理3.4信号的频域处理3.4.1系统的频率响应3.4.2信号的无失真传输条件3.4.3理想低通滤波器3.4.4实际模拟滤波器信号处理方法：时域、复频域、频域。线性时不变系统的响应＝零输入响应＋零状

2、态响应线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某个基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知时，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。输入为零，仅由初始状态产生的响应初始状态为零，仅由输入信号产生的响应例如，若已知系统对基本信号输入时的零状态响应为，又已知输入可以表示为则输入为时的零状态响应为时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。→卷积积分复频域：信号分解为est的线性组合。→系统函数频域：信号分解为ejωt的线性组合。→频率响应3.1线性时不

3、变连续系统的时域数学模型——微分方程3.1.1微分方程的建立＊基尔霍夫定律（KCL、KVL）＊元件的电压电流约束关系（VCR）依据：例：图示RLC串联电路中，e(t)为激励信号，输出响应为回路中的电流i(t)。试求该电路中响应与激励的数学关系。解：根据KVL，得由元件VCR，有二阶线性常系数微分方程，对应于一个二阶系统对于一个n阶系统，设激励信号为x(t)，响应为y(t)，可用一个n阶常系数线性微分方程来描述。LTI系统的时域数学模型：LTI系统x(t)y(t)式中，an-1,…,a0和bm,…,b0均为常数，n≥m。3.1.2微分方程的求解1、时域经典解法齐次解为齐次微分方程的解

4、，其函数形式由微分方程的特征根决定。齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应；特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应。全解：齐次解特解例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为试求系统的响应。解：特征方程为其特征根λ1＝－1，λ2＝－2。该方程的齐次解为激励，且a＝－1与特征根λ1相同，故该方程的特解为将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得C0=0，C1=1。所以特解因此方程的完全解为代入初始条件解得C1=－1，C2=1。从而系统的响应为2、应用拉普拉斯变换法解微分方程描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始

5、状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若x(t)在t=0时接入系统，则x(j)(t)←→sjX(s)s域的代数方程t域的微分方程零输入响应零状态响应y(t)例：描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+6x(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励x(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解：方程取拉氏变换：整理得x(t)=5cost(t)y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)-4e–2t(t)+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t

6、)Yzi(s)Yzs(s)3.2计算零状态响应的卷积方法3.2.1零输入响应和零状态响应零输入响应完全响应：零状态响应零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应。由于激励为零，故有零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应。在t=0-时刻激励尚未接入，故应有例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。由特征方程有λ1=-2，λ2=-3。则齐次解代入初始条件解得C1=10，C2=－10。于是零输入响应为解：（1）求零输入响应yzi(t)当激励为零时，满足齐次方程（2）求零状态响应yzs(t)则方程的特解由于齐次解为则由于激励为

7、阶跃函数，在t=0时不会使系统发生突变，因此，解得C1=－3，C2=2。于是零状态响应为（3）全响应由于激励3.2.2冲激响应初始条件的确定起始点的跳变—从0－到0＋0－表示激励接入之前的瞬时，为起始状态。0＋表示激励接入以后的瞬时，为初始状态。注意：系统微分方程求得之解限于0＋