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《以 2l 为周期的函数的展开式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、以2l为周期的函数的展开式一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以2l为周期的函数,通过变量替换:若在上可积,则在上也可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是:就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函数其中(2)因为,所以于是由(1)与(2)式分别得与这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是f的傅里叶级数.若函数f在上按段光滑,则同样可由收敛定理知道例1将函数展开成傅里叶级数.里叶级数.根据(4)式,有代入(5)式,得这里当和±5时级数收敛于二、偶函数与奇函数的傅里叶级数的偶函数,则在上,是偶函数
2、,是奇函数.因此,f的傅里叶系数(4)是设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.同理,若f是以2l为周期的奇函数,或是定义在上的奇函数,类似可推得所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即其中如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数.若,则偶函数f所展开成的余弦函数为其中当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为其中注如何将定义在上(或更一般地上)的函数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将定义在上的函数作偶式延拓或奇式延拓到上(如图15-8(a)或(b)).然后求延
3、拓后函数的傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.图15-8也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12),计算出它的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.例2设函数求f的傅里叶级数展开式.解f是上的偶函数,图15-9是这函数及其周期延拓的图形.由于f是按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数.由(10)式(这时可把其中“~”其中改为“”)知道所以当时,有由此可得解函数f如图15-10所示,它是按段光滑函数,因而可以展开成正弦级数(12),其系数例3求定义在上的函数(其中04、在内展开成:(i)正弦级数;(ii)余弦级数.解(i)为了把f展开为正弦级数,对f做奇式周期延拓(图15-11),并由公式(8)有当,时,级数收敛于0.所以当时,由(9)及收敛定理得到但当x=0,2时,右边级数收敛于0.(ii)为了将f展开成余弦级数,对f做偶式延拓(图15-12).由公式(6)得f的傅里叶系数为或所以当时,由(7)及收敛定理得到读者由例4可以看到,同样一个函数在同样的区间上可以用正弦级数表示,也可以用余弦级数表示,甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.
