测量数据处理第2章插值与拟合

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1、2021/8/271实用测量数据处理方法王磊电话:13813981022邮箱:wangleinj@126.com东南大学交通学院测绘工程系2021/8/272第二章插值与拟合第一节概述第二节Lagrange插值第三节Newton插值第四节　插值多项式的余项第五节Hermite插值第六节样条函数插值第七节曲线拟合的最小二乘法2021/8/273第一节概述在生产实际及科学研究中,经常要研究变量之间的函数关系y=f（x）,而函数y=f（x）往往不能直接写出其表达式，只知道它在区间[a，b]中某些点的函数值，而往往要求f（x）在[a，b]中其它点

2、的值。一、问题的提出2021/8/2741、问题12、问题2在解决实际问题时，虽然可以断定考虑的函数在上存在且连续，但却很难找到它的解析解，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。在有些情况下，虽然可以写出函数在的解析表达式，但由于结构太复杂，使用起来很不方便。2021/8/2753、目的面对上述问题，希望找到一个简单函数作为的近似，便于计算、分析函数的性态。上述问题称为数值逼近问题，函数被称为被逼近函数，称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项。2021/8/276常用的逼近方式有两种：插值逼近与平方逼近（拟合）插值逼近：要求误差

3、R(x)在区间[a,b]上的已知点xi处的值等于零，即平方逼近：即要求误差R(x)在区间[a,b]上的已知点xi处的值的平方和达到最小，即2021/8/277插值逼近与平方逼近的几何意义：插值逼近：精确通过已知点平方逼近：尽量符合总体轮廓插值逼近与平方逼近的应用：求积，地球重力场解析表达式的构建，数字地面模型中的应用（内插计算），机械加工等等2021/8/278问题实例机械加工xy机翼下轮廓线2021/8/279第二节Lagrange插值一、代数插值问题求解插值问题的基本思路构造一个(相对简单的)函数通过全部节

4、点,即再用计算插值，即2021/8/2710使得在节点处这个问题称为n次代数插值。在工程上称作型值2021/8/2711则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.定理二、代数插值多项式的存在唯一性2021/8/2712上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式由Gramer法则,线性方程组有唯一解.证毕2021/8/2713插值多项式的存在唯一性定理结论若节点互不相同，则满足插值条件（1）式的n次插值多项式（2）存在且唯一。插值条件：插值多项式：2021/8/2714N次插值多项式的几何意义2021/8/27152021/8

5、/2716值得注意的是，尽管p(x)唯一，一般不宜直接求解方程组，因为计算量较大。我们希望根据给定的函数表，做一个既反映f(x)的特性，又便于计算的简单函数p(x)近似f(x),通常选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做2021/8/2717二、基本插值多项式为了构造满足插值条件的便于使用的简单插值多项式,我们考虑一个简单的插值问题:求一个n次插值多项式，使它在各个节点上的值为：2021/8/2718为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。称2021/8/2719三、Lagrange插值多项式以n+1个n次基本插值多

6、项式为基础，能直接写出满足插值条件的n次基本插值多项式2021/8/2720四、线性插值与二次插值（一）、线性插值假设2021/8/27212021/8/2722线性插值，虽然计算方便，应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求插值区间[x0,x1]比较小，且f(x)在[x0,x1]上变化比较平稳。否则，线性插值的误差可能很大。见下图为了克服这一缺点，我们用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，而抛物线是最简单的二次曲线之一，下面就来研究用抛物线去逼近已知曲线的情形2021/8/2723（二）、抛物线插值令2021/8/2724把n=

7、1和n=2代入Lagrange插值多项式，即可得出线性插值与二次插值2021/8/2725线性插值的几何意义2021/8/2726二次插值的几何意义2021/8/2727我国古代天文学家在制定历法的过程中曾对插值方法做出过杰出的贡献。譬如，隋朝刘焯的杰作《皇极历》（公元600）、唐僧一行所造《大衍历》（公元727年）都使用了二次插值，特别是，晚唐徐唐造《宣明历》（公元822年）所使用的插值术是二阶有限差分方法，而这方面的工作比西方超前了上千年。现代数值计算中，中国的数值计算技术反过来比西方又落后了许多2021/8/2728§2-3Newt

8、on插值/*Newton’sInterpolation*/将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。????引子：由前面所学知识我们知道，任何一个不高于n次的多项式，都