数列大题训练三答案解析

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1、《数列》专题训练三1．,是方程的两根,数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)记=,求数列的前项和.解：(Ⅰ)由.且得,在中,令得当时,T=,两式相减得,.(Ⅱ),,,=2=,2．已知数列满足（1）求（2）设求证：；（3）求数列的通项公式。（4分）解答：（1）由已知,即，即有由，有，即同时，（2）由（1）：，有（3）由（2）：而，是以2为首项，2为公比的等比数列，，即，而，有：3．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1=b1=1，．（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式；（Ⅱ）

2、若an∈N*，{}是公比为9的等比数列，求证：．解:设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}公比为q．（Ⅰ）∵，∴，而a1=b1=1，则q（2+d）=12．①又∵b2是a1，a3的等差中项，∴a1+a3=2b2，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②联立①，②，解得或所以an=1+（n－1）·2=2n－1，bn=3n－1；或an=1+（n－1）·（－5）=6－5n，bn=（－4）n－1．（Ⅱ）∵an∈N*，，∴，即qd=32．①由（Ⅰ）知q(2+d)=12，得．②∵a1=1，an∈N*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，∴d可为1或2或4，但同时满

3、足①②两个等式的只有d=2，q=3，∴an=2n－1，．∴（n≥2）．当n≥2时，＜=＜．显然，当n=1时，不等式成立．故n∈N*，．4．已知函数（，，为常数，）.（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），证明：；解：（Ⅰ）依条件有.因为点在函数的图象上，所以.因为，所以是首项是，公差为的等差数列.……………………1分所以.即数列的前项和.………………………………2分（Ⅱ）证明：依条件有即解得所以.所以因为=，又，所以.即.21．已知数列（）的各项满足：,（，）．(1)判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式；(3

4、)若数列为递增数列，求的取值范围.解：（1），．当时，，则数列不是等比数列；当时，，则数列是公比为的等比数列．（2）由（1）可知当时，，．当时，，也符合上式，所以，数列的通项公式为．(3)．∵为递增数列，∴恒成立．①当为奇数时，有，即恒成立，由得．②当为偶数时，有，即恒成立，由，得．故的取值范围是．5．设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求.解：（Ⅰ）∵，，，由成等差数列得，，即，解得，故；（Ⅱ），法1：，①①得，，②①②得，，∴．法2：，设，记，则，∴，-故．6．已知数列满足，，设数列的前n项和为，令

5、（1）求数列的通项公式；（2）求证：（1）解：由得代入得，整理得从而有，所以，所以，是首项为1，公差为1的等差数列，即                                     （2）                7．已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．解：(1）由已知，（，），………………2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴……………4分（2）∵，∴，要使恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立．……………………6分（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴

6、……………8分（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴…………10分即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．…6、（理科）已知点（）满足，，且点的坐标为.(Ⅰ)求经过点，的直线的方程；(Ⅱ)已知点（）在，两点确定的直线上，求证：数列是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有，能使不等式成立的最大实数的值.解：(Ⅰ)因为，所以.所以.所以过点，的直线的方程为.(Ⅱ)因为在直线上，所以.所以.由，得.即.所以.所以是公差为2的等差数列.（Ⅲ）由(Ⅱ)得.所以.所以.所以.依题意恒成立.设，所以只需求满足的的最小值.因为==，所以（）为增函数.

7、所以.所以.所以.………………………………………14分8．（理科做）已知点，，…，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；解：（1），（，………………………………………………….2分，，是等比数列。(2)因为是等比数列，且公比，，。当时，；当时，。因此，。（3），，设，当最大时，则，解得，，。所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。