概率论与数理统计A 9

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1、§9.1回归分析的概念§9.2一元线性回归§9.3可线性化的一元非线性回归§9.4单因素试验方差分析回归分析及方差分析Ch91“回归”一词的历史渊源“回归”一词最早由FrancisGalton引入。十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究发现：其中x表示父亲身高，y表示成年儿子的身高（单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。这表明子代的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其它分支中。2§9.1回归分析的基本概念变量之间的关系确定性关系非确定性关系(相关关系)3对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationa

2、nalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的。对于相关关系，虽然不能求出变量之间精确的函数关系式，但是通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在一定的统计规律性。4回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。分为：一元线性回归、多元线性回归、可线性化的非线性归（双曲线、指数、对数、二次、幂函数等）5基本方法考察随机变量Y与普通变量x之间的相关关系.例1.在农业生产中小麦的亩产量Y与所施肥料量x有一定关系，在一定范围内，若施肥量大，亩产也较高。问题：Y是怎样依赖施肥料量x的变化的。问题的特征：x是普通变量,Y是随机变量.处理方法：

3、按数理统计处理问题的方法。6(1)先进行一些试验，分别取不同的值Y也得到个相应观察值得到n对数据对，称为样本数据点(2)散点图Yxo····················7(3)寻找Y与x的数量关系：其中一般地，，8例1合金的强度y(×107Pa)与合金中碳的含量x(%)有关。为研究两个变量间的关系。首先是收集数据，我们把收集到的数据记为(xi,yi),i=1,2,,n。本例中，我们收集到12组数据，列于表1中进行回归分析首先是回归函数形式的选择。当只有一个自变量时，通常可采用画散点图的方法进行选择。9表1合金钢强度y与碳含量x的数据序号x(%)y(×107Pa)序号x(%)y(×

4、107Pa)10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.060.1547.5120.2360.010为找出两个量间存在的回归函数的形式，可以画一张图：把每一对数(xi,yi)看成直角坐标系中的一个点，在图上画出n个点，称这张图为散点图，见右图。11从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以表示为这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误差服

5、从正态分布，即显然假定（2）比假定（1）强12由于0,1均未知，需要我们从收集到的数据(xi,yi)，i=1,2,…,n，出发进行估计。在收集数据时，我们一般要求观察独立地进行，即假定y1,y2,,yn,相互独立。综合上述诸项假定，我们可以给出最简单、常用的一元线性回归的数学模型：13§9.2一元线性回归1.本节考虑的模型是其中都是未知参数,为回归系数,分别是直线的截距和斜率。称为Y关于x的经验回归函数。方程称为Y关于x的经验线性回归方程，或经验回归方程，其相应的图形称为经验回归直线。此模型称为一元线性回归模型，基于此种模型的统计分析称为一元线性回归分析.142.下面用最小二乘法

6、来求对于自变量x和因变量y的n对观察值的最小二乘估计其中是对观察时的随机误差.的估计。15使得成立的和称为和的最小二乘估计。16于是得方程组17解得，记于是18例9.2.1设某化学过程的得率Y与该过程的温度x有关.现作了10次测量，其数据如下表所示.x/℃38434954606671778288y/%20.420.922.523.024.224.326.226.628.028.9解故于是得线性回归方程19由此给出回归方程为:例2使用例1种合金钢强度和碳含量数据求回归方程。解20,.21残差显然残差的平方和定理9.2.2是的无偏估计。22例：求出例9.2.1中误差方差的无偏估计解例9.2

7、.1中已求出所以23定理9.2.3对一元线性回归模型（9.2.3），若进一步假定随机误差，则有(1).(2)RSS与和相互独立.244回归方程的显著性检验在使用回归方程作进一步的分析以前，首先应对回归方程是否有意义进行判断。如果1=0，那么不管x如何变化，E(y)不随x的变化作线性变化，那么这时求得的一元线性回归方程就没有意义，称回归方程不显著。如果10，E(y)随x的变化作线性变化，称回归方程是显著的。综上，对回归方程是否有意义作判断就