数学北师大版七年级下册-平方差公式

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1、●课题§1.5.2平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用

2、平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板,剪刀.投影片四张第一张:想一想,记作(§1.7.2A)第二张:例3,记作(§1.7.2B)第三张:例4,记作(§1.7.2C)第四张:补充练习,记作(§1.7.2D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景,引入新课[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.这个正方形的面积是多少?[生]a2.[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1-23).现在我们就有

3、了一个新的图形(如上图阴影部分),你能表示出阴影部分的面积吗?图1-23[生]剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为(a2-b2).[师]你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗?同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法)[生]老师,我们拼出来啦.[师]讲给大伙听一听.[生]我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),我们可以注意到,上面的大长方形宽是(a-b),长是a;下面的小长方形长是(a-b),宽是b.我们可

4、以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a-b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形(阴影部分),它的长和宽分别为(a+b),(a-b),面积为(a+b)(a-b).图1-24[师]比较上面两个图形中阴影部分的面积,你发现了什么?[生]这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.[生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式.[生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天,我们又通过拼图游戏给

5、出平方差公式的一个几何解释,太妙了.[生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证.[师]由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课[师]出示投影片(§1.7.2A)想一想:(1)计算下列各组算式,并观察它们的特点(2)从以上的过程中,你发现了什么规律?(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?[生](1)中算式算出来的结果如下[生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.[师

6、]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢?[生]我猜想是.我又找了几个例子如:[师]你能用字母表示这一规律吗?[生]设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a-1,a+1,则有(a+1)(a-1)=a2-1.[生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明.[生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗?(同学们惊讶,然后讨论)[生]a可以代表任意一个数.[师]很好!同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡.[生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么

7、用途呢?(陷入沉思)[生]例如:计算29×31很麻烦,我们就可以转化为(30-1)(30+1)=302-1=900-1=899.[师]的确如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工”的方法,太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2B)[例3]用平方差公式计算:(1)103×97(2)118×122[师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.[生]我发现了,103=100+3,97=100-3,因此103×97=(100+3)(100

8、-3)=10000-9=9991.太简便了![生]我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120-2,122=120+2118×122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396.[生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出.[师]我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2C).[例4]计算:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).分析:上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;还需

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