求极值及解线性规划问题命令与例题1

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1、第七章求极值及解线性规划问题命令与例题7.1求函数的局部极值Mathematica求函数局部极小值的一般形式为:FindMinimum[目标函数,{自变量名1，初始值1},{自变量名2，初始值2},…]具体的拟合命令有:命令形式1：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值。命令形式2：FindMinimum[f[x],{x,{x0,x1}}]功能：以x0和x1为初值，求一元函数f(x)在它们附近的局部极小值。命令形式3：FindMinimum[f[x],{x,x0

2、,xmin,xmax}]功能：以x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值,如果中途计算超出自变量范围[xmin,xmax],则终止计算。命令形式4：FindMinimum[f[x,y,...],{x,x0},{y,y0},…]功能：以点(x0,y0,…)为初值,求多元函数f(x,y,…)在(x0,y0,…)附近的局部极小值例1:求函数y=3x4-5x2+x-1,在[-2,2]的极大值、极小值和最大值、最小值。解:先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。Mathematica命令为:In[1]:=Plot[3x^4-5x

3、^2+x-1,{x,-2,2}从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用Mathematica命令求之：In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}]Out[2]={-2.19701,{x->0.858028}}In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}]Out[3]={-4.01997,{x->-0.959273}}In[4]:=FindMinimum[- (3x^4-5x^2+x-1),{x,0}]Out[4]={0.949693,{

4、x->0.101245}}In[5]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->-2In[6]:=3x^4-5x^2+x-1/.x->2故所求函数在[-2,2]的x=2处取得最大值29,在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997例2:求函数z=e2x(x+y^2+2y)，在区间[-1,1][-2,1]内的极值。解:本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图Mathematica命令为In[7]:=ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1},Contours->20

5、,ContourShading->False,PlotPoints->30]从图中可知函数在（0.45,-1.2）可能有极值，取x0=0.45，y0=-1.1,再用求极值命令In[8]:=FindMinimum[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,0.45},{y,-1.1}]Out[8]={-1.35914,{x->0.5,y->-1.}}求得函数在x=0.5,，y=-1取得极小值-1.35914。例3:求函数f(x,y,z)=x4+siny-cosz,在点（0，5，4）附近的极小值。解:In[9]:=FindMinimu

6、m[x^4+Sin[y]Cos[z],{x,0},{y,5},{z,4}]Out[9]={-2.,{x->0.,y->4.71239,z->6.28319}}故函数在（0,4.71239,6.28319）取得极小值-2。7.2解线性规划问题线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在满足一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小（大）值的问题，线性规划的标准形式为：目标函数：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxn=b1a21x1+a2

7、2x2+….+a2nxn=b2约束条件：……….am1x1+am2x2+….+amnxn=bmx1,x2,…,xn0这里x1,x2,…,xn是变量，ci,aij,bi都是已知常数，且bi0，约束条件常用符号:s.t.表示。线性规划的一般形式为：目标函数：minS=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+….+a1nxnb1a21x1+a22x2+….+a2nxnb2约束条件：……….am1x1+am2x2+….+amnxnbm式中符号“”可以是关系符号：>,<,=,,中的任意一个。Mathematic

8、a解一般线性规划问题的命令形式有:具体的拟合命令有:命令形式1：ConstrainedMin[f,{inequalities},{x1,x2,…}]功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极小值和对应的极小点。