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1、第三节平面向量的数量积考纲考情广东五年4考 高考指数:★★★★☆1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系五年考题2012T82011T3T52009T16考情播报1.数量积的运算、投影、模与夹角是近几年高考命题的热点2.常与三角函数、三角恒等变换、解析几何等相结合考查3.题型主要以选择题、填空题为主,属中档题【知识梳理】1.向量的夹角定 义图 示范 围共线与垂
2、直已知两个非零向量a和b,作=b,则______就是向量a与b的夹角设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°若θ=0°,则a与b_____;若θ=180°,则a与b_____;若θ=90°,则a与b______∠AOB同向反向垂直2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量____________叫做a与b的数量积,记作a·b投影_________叫做向量a在b方向上的投影,_________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与b在a的方向上的投影_________的乘积
5、
6、a
7、
8、b
9、cosθ
10、a
11、cosθ
12、b
13、cosθ
14、b
15、cosθ3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a=a·e=
16、a
17、cosθ.(2)a⊥b⇔_______.(3)当a与b同向时，a·b=
18、a
19、·
20、b
21、.当a与b反向时，a·b=-
22、a
23、·
24、b
25、,特别地，a·a＝____或者
26、a
27、＝______.a·b=0
28、a
29、2(4)cosθ=.(5)a·b≤_______.
30、a
31、
32、b
33、4．数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b=_________
34、=_________.(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c5.平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b=________模
35、a
36、＝________夹角cosθ=向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b=0⇔__________x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0【考点自测】1.(思考)给出下列结论：①向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量；②两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是
37、向量；③由a·b=0可得a=0或b=0；④(a·b)c=a(b·c).其中正确的是()A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选A.由向量投影的定义可知①正确；由数量积及线性运算的意义知②正确；由a·b=
38、a
39、
40、b
41、cosθ知，当两个非零向量的夹角θ=90°时，a·b=0，而不必a=0或b=0，所以③不正确；由向量数量积及向量的数乘的意义知，当a·b≠0时，(a·b)c是与c方向相同或相反的向量，而当b·c≠0时a(b·c)是与a方向相同或相反的向量，所以④不正确.综上应选A.2.已知向量a,b满足
42、a
43、=1,
44、b
45、=4，且
46、a·b=2,则a与b的夹角为()【解析】选C.设a与b的夹角为θ，则cosθ=又因为θ∈［0,π］，所以3.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A.9B.4C.0D.-4【解析】选A.a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.所以x＝9.4.已知单位向量a，b的夹角是120°，则
47、a+b
48、=()【解析】选B.由题意，得
49、a
50、=
51、b
52、=1,所以
53、a+b
54、==5.已知
55、a
56、=2,向量a与b的夹角是则a在b上的投影是_________.【解析】a在b上的投影是答案：6.
57、已知等边三角形ABC的边长为1，设则a·b+b·c+c·a=________.【解析】如图，得a与b,b与c,c与a的夹角都是120°，又
58、a
59、=
60、b
61、=
62、c
63、=1,所以原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°答案：考点1平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_______.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则的值为_______，的最大值为_______.【
64、解题视点】(1)根据向量数量积的运算律及数量积的运算公式列方程求解.(2)结合图形建立平面直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求解，或选取基向量，用基向量表示后再根据向量数量积的运算公式求解.【规范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0,整理得t
65、a
66、
67、
