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《世纪金榜理科数学(广东版)热点专题突破系列》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用考 点考 情 分 析三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体重点考查三角函数的条件求值,即考查诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等三角恒等变换,在知识的交汇点处命题三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算、平面向量的数量积为基础,引入三角函数,通过三角恒等变换重点考查三角函数的周期性、单调性、最值及取值范围等,在知识的交汇点处命题考 点考 情 分 析平面向量在三角形计算中的应用结合平面向量的线性运算、数
2、量积,在三角形中重点考查正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换.题型有求边、求角、求三角形的面积等,在知识的交汇点处命题考点1三角函数的求值与平面向量的综合【典例1】(2014·韶关模拟)已知向量a=(-cosx,sinx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b,x∈［0,π］.(1)求函数f(x)的最大值.(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小.【解题视点】(1)把f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+k的形式，再求最大值.(2)先求出a与b的坐标，再根据夹角公式求夹角.【规范解
3、答】(1)f(x)=a·b=-cos2x+==因为x∈［0,π］,所以当时，f(x)max=(2)由(1)知设向量a与b的夹角为α,则cosα=所以因此，向量a与b的夹角为【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.【变式训练】(2014·揭阳模拟)已知向量a=b=函数f(x)=a·b(A>0,x∈R),且f(2π)=2.(1)求函数y=f(x)的表达式.(2)设求
4、cos(α+β)的值.【解析】(1)依题意得f(x)==因为f(2π)=2,所以所以解得A=4,所以f(x)=(2)由f(3α+π)=得即所以又因为所以由得即sin(β+π)=所以sinβ=又因为所以所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值.(2)求
5、b+c
6、的最大值.(3)若tanαtanβ=16,求证：a∥b.【解析】(1)因为b-2
7、c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂直，所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.(2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),所以
8、b+c
9、==所以当sin2β=-1时，
10、b+c
11、取最大值，且最大值为(3)因为tanαtanβ=16,所以即sinαsinβ=16cosαcos
12、β,所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ,即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线，所以a∥b.考点2三角函数的性质与平面向量的综合【典例2】(2014·烟台模拟)已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ)，其中0＜φ＜π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点(1)求φ的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2
13、倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在上的最大值和最小值.【解题视点】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式，由函数f(x)的图象过定点确定φ的值，并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【规范解答】(1)因为a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x).所以f(x)=(a·b)cosx+(b·c)
14、sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),所以而0＜φ＜π,所以所以由2kπ-π≤≤2kπ.得即f(x)的单调增区间为(2)由(1)得，f(x)=平移后的函数为于是g(x)=当时，所以即当时，g(x)取得最小值当时，g(x)取得最大值1.【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)
