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《世纪金榜理科数学(广东版)热点专题突破系列(三)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热点专题突破系列(三)数列的综合应用考 点考 情 分 析等差数列与等比数列的综合问题等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)的性质(2)重点考查基本量(即“知三求二”,解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质简化解决问题考 点考 情 分 析数列与函数的综合问题数列与函数的特殊关系,决定了数列与函数交汇命题的自然性,是高考命题的易考点,主要考查方式有:(1)以函数为载体,考查函数解析
2、式的求法,或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前n项和的计算方法(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题,考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题考 点考 情 分 析数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种:(1)判断数列问题中的一些不等关系,如比较数列中的项的大小关系等(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,求不等式中的参数的取值范围等(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题数列的实际应用问题此类试题一般围绕着现
3、实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置,它不仅涉及数列中的基本知识和方法,还往往涉及其他学科的知识和常识考点1等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2014·南昌模拟)已知{an}是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求{an}和{bn}的通项公式.(2)令cn=Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn.【解题视点】(1)利用“基本量法
4、”,用首项和公差(比)表示已知等式,解得公差(比),再用通项公式求解.(2)用(1)的结论表示出cn,再分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求和.【规范解答】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则a2b2=(3+d)q=12,S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12,即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为{an}是单调递增的等差数列,所以d>0,所以d=3,
5、q=2,an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1.(2)由(1)知cn=Sncos3nπ=①当n是偶数时,Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=②当n是奇数时,Tn=Tn-1-Sn==-(n+1)2.综上可得,Tn=【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,
6、确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2014·潍坊模拟)在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)记cn=(-1)
7、nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知得:a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,q=3或q=1(舍去),所以此时d=2,所以an=3n,bn=2n+1.(2)由题意得:cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+…+3n,当n为偶数时,Sn=当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2
8、n+1)+【加固训练】在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)令cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为a2=b1=3,a5=b2,a14=b3,所以解之得所以an=2n-1,bn=3n.(2)因为cn=an·bn=(2n-1)·3n.所以Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,所以3Tn=1×32+3×3
