专升本高数数学第二章导数与微分

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1、求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分第二章导数与微分1、导数的定义导函数注意：记为例题1.设存在，且则等于A.1,B.0,C.2,D.0.5分析：导数定义的本质：练习：P43第3题2、单侧导数左导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例.见教材P42页例6例题2.讨论在处的连续性与可导性.分析：所以在处连续所以因此在处可导。题目的函数为：当时，所以因此从而在处可导。判断可导性的另一种方法：3、导数的几何意义：函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率。曲线在点处的切线方程为法线方程为：例求曲线在点（2，8

2、）处得切线方程和法线方程。解在点（2，8）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所求法线斜率为于是所求法线方程为4、导数与连续的关系：定理(函数可导的必要条件)：在点处可导在点处连续。可导→连续，反之不一定即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。例子见教材P42例题7，8例函数在x=0连续但不可导，于是有可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为例解练习：P43页第7题5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）6、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则或☆注意：与的区别表示复合函数对自变量求导（3）.复合函数的导数

3、：复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量求导例求下列函数的导数例设，求解例设，求解首页上页下页(4)隐函数求导法则隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。见P53页例3例求由方程所确定的隐函数的导数解方程两端对x求导数，得例求椭圆在点处的切线方程.解所求切线斜率为方程两边对x求导,得首页上页下页例求由方程所确定的隐函数的二阶导数(5)参变量函数的求导法则解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为y=－x求曲线在t=1处的切线

4、方程例例题：设，求(6)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:对数求导法适用于幂指函数以及多因子乘积（或商）函数的导数例.见P53页例4，5，6首页上页下页两边对x求导数，得解：两边取对数，得例求函数的导数.（7）抽象函数的求导法则7、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，直至求出所求阶导数的方法。当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出

5、函数的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。例求的n阶导数.解一般地，可得例解求的阶导数.一般地，可得首页上页下页例求的阶导数.解一般地，可得上页下页练习：P512(1)(4)(5)8、微分(微分的实质)（1）微分的定义（2）、导数与微分的关系定理（3）、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.（4）基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则（5）、微分的基本法则微分形式的不变性例.求函数的微分(2)例.设求分析：是R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接应用乘积函

6、数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用导数定义。解：方法一方法二分析函数的表达式特点及求导点为令,其中则故