上海海事大学高数课件3函数的极限

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1、第一章一、自变量趋于无穷大时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于有限值时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线机动目录上页下页返回结束A为函数例1.证明证:取因此注:就有故欲使即例2证直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:二、自变量趋向有限值时函数的极限1.定义2.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为

2、函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:机动目录上页下页返回结束例3.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例4.证明证:欲使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例5.证明证:故取当时,必有因此机动目录上页下页返回结束例6.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束2.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P38题8)机动目录上页下页返回结束例7.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束3.保号性定理

3、定理1.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37推论)分析:机动目录上页下页返回结束定理2.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3作业P371

4、(4);2(2);5;6;7;9Th1Th3Th2是否一定有第四节目录上页下页返回结束？函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后一、填空题:练习题练习题答案