《高数ch1习题》PPT课件

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1、第一章、函数与极限习题课一、主要内容二、典型例题三、作业一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1、函数的定义定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性:2、函数的性质若对于每个仅有一个值y=f(x)与之对

2、应，则称y=f(x)为单值函数，否则就是多值函数.(2)函数的奇偶性:偶函数设函数f(x)的定义域为D,且D关于原点对称，若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.奇函数(3)函数的单调性:当时,称为I上的称为I上的单调增函数；单调减函数.设函数且区间(4)函数的有界性:使设函数且数集称在X上有界.(5)函数的周期性:oyx且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).设函数f(x)的定义域为D,3、反函数4、隐函数若函数习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.5、反函数与直接函数之间的关系设函数y=f(x),的反函数为(

3、1)(2)y=f(x)与y=f－1(x)的图形对称于直线y=x.6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.则设有函数链称为由y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数,①②u称为中间变量.9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小

4、两者的关系无穷大1、极限的定义定义1设为一数列，若存在常数a，对任意(无论多么小)，总存在正整数N,使得当n>N时，都有则称a为数列的极限，或称收敛于a，记为或当n>N时，总有当时,有则称常数A为函数当时的极限,或若记作在点的某去心邻域内有定义,设函数定义2当时,有左极限:当时,有右极限:当时,有定理无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大记作记作定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

5、定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质3、极限的性质则有(1)(2)(3)定理若推论1.(C为常数).推论2(n为正整数).4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)准则Ⅰ(或)时,有则存在,且等于A.若当准则Ⅱ单调有界数列必有极限.6、两

6、个重要极限(1)(2)7、无穷小的比较若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作定义8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性且存在,则定理设定理若存在，则极限唯一.～～～～～～～～～左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定义1在的某邻域内有定义,则称

7、函数设函数且定义22、单侧连续左连续右连续3、连续的充要条件定理4、间断点的定义(1)在点即(2)极限(3)存在;有定义,存在;函数连续必须具备下列条件:在f(x)的不连续点(或间断点)。并称点x0为函数f(x)在点x0处不连续(或间断),则称如果上述三个条件中只要有一个不满足,(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类若称为为函数f(x)跳跃间断点.称若存在,但为函数f(x)的可去间断点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx函数在x0处的左右极限都存在.0yx无穷型振荡型第二类间断

8、点0yx第二类间断点及中至少一个不存在.称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为无穷间断点.为振荡间断点.6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，并且在左端点x=a