非线性规划基础理论

《非线性规划基础理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章非线性规划基础知识引言什么是非线性规划线性规划问题和整数规划问题，其共同的特征是最优化问题中的目标函数和约束条件均为设计变量的线性函数。但在实际建模过程中还有大量的问题，其目标函数或约束条件很难用线性函数来表达，当目标函数或约束条件中有一个以上是非线性函数时，就不能用线性的方法来处理，而要采用非线性的方法，那么我们称这种问题为非线性规划问题非线性规划的产生和发展自从1951年H.W.Kuhn及A.W.Tucker探讨了非线性规划解的最优性条件，为非线性规划奠定了理论基础之后，非线性规划逐渐形成了一门十分重要且比较活跃的新兴学科，出现了许多解非线性规划问题的有效的算法

2、。由70年代开始，该分支得到迅速发展：理论方面，非线性规划借鉴了数学理论中其他分支的成果，逐步形成自身的学科特色；在应用方面，非线性规划为系统的优化和管理提供了有力的工具。随着电子计算机的应用，非线性规划在最优设计、管理科学、质量控制等许多领域得到越来越深入的应用。非线性规划发展到今天，虽然已经提出许多求解方法和策略，但是对于非线性规划的最优化问题目前还没有适于各种不同情况的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。因而，这是需要人们更深入的进行研究的一个领域。典型的非线性规划问题选址问题问题的提出一家大型连锁超市在某地有家分店，为了数学语言描述的方便，可在平面直角坐标系

3、给出其位置表述：A1的坐标为(x1,y1)，A2的坐标为(x2,y2)，以此类推，An的坐标为(xn,yn)。现在超市拟在当地选择一个理想的位置建立一个供货点，由于该超市各分店在经营规模上的不同，出货量也不同，导致供货点对各分店的送货频率不同，假设供货点每周给Ai送货的次数为ci(i=1,2,…,n)，同时假设每公里的运输费保持定值m元/公里。那么超市应当把供货点设在什么地方可以使得运输成本最低？问题分析假设供货点坐标为(x,y)，那么由供货点到某分店Ai的距离和运输费分别为：故运输的总成本为对各个分店运输成本的总和，整个问题的数学模型可以表达为：上述问题的目标函数为设计

4、变量x和y的非线性函数，故为非线性规划问题，由于设计变量x和y不受任何条件的约束，故为无约束非线性规划。典型的非线性规划问题营业计划制定问题问题的提出某公司销售两种建材A和B以满足市场的需要，生产建材A和B均要消耗资原材料M和N，其中每吨A建材需要消耗10吨M和18吨N，每吨B需要消耗20吨M和12吨N，已知产品的利润是销售量的函数，现有原材料200吨M和100吨N，产品的售价、和资源的对应关系如表所示，该公司应当如何制定生产销售计划使得销售额最大。消耗资源M(吨)消耗资源N(吨)单位售价(万元/吨)A11.8p1=5-0.01x1B21.2p2=6-0.03x2资源限制

5、200100典型的非线性规划问题营业计划制定问题问题分析设x1和x2为产品A和产品B的销售量，由A的单价为p1，B的单价为p2，则可知公司的销售收入为，在该例中，单位售价为销量的函数，故由表中的公式可得最优化的目标为使得销售额最大，即取得最大值。由原材料的限制，可得约束条件为：且考虑到和的产量应当为非负实数，故该问题的数学模型为：上述问题的目标函数为设计变量x1和x2的非线性函数，约束条件为设计变量的x1和x2的线性函数，为有约束的非线性规划问题。典型的非线性规划问题容器设计问题问题的提出某工厂按照客户的要求定制专门的储藏用容器，订货合同要求该工厂制造一种敞口的长方体容器

6、，容积为10m3，该种容器的底必须为正方形，容器总质量不超过56kg．已知用作容器四壁的材料为20元/m2，重量为3kg；用作容器底的材料30/m2，重量为2kg。则制造该容器所需的最小成本是多少？问题分析由于该容器的底为正方形，故设底边长为x1，高为x2，则该容器底部的面积为m2，四壁的侧面积为4x1x2，该容器的容积为10m3可得，根据题意，容器底部的重量为kg，侧面的重量为kg，由于容器的总质量不得超过56kg，故可得约束关系，打造该容器的成本为底部的材料费和四壁的材料费之和，为，我们设计的目标是使得制造该容器的最小成本，即使得取得最小值。且考虑到容器的底和高均为非

7、负实数，故综合上述各式得到该最优化问题的数学模型为：上述问题的目标函数为设计变量x1和x2的非线性函数，约束条件也为设计变量的x1和x2的非线性函数，为有约束的非线性规划问题。非线性规划问题的数学模型一般形式非线性规划问题涉及的领域非常广泛，由实际的应用问题建立起来的非线性规划问题的具体形式也是各式各样的，为了讨论问题的方便，我们将其用统一的数学形式表达，简单的说，均可以将问题转化为求一个n维变量x的实函数f(x)的最大值或者最小值，同时受到一组约束的限制，这些约束可以是等式约束，也可以是不等式约束，其形式可以表达如下：式中，