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1、高等代数课程论文——最佳逼近姓名：学号：班级：一．摘要欧几里德空间(EuclideanSpace)简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的
2、数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。二.关键字欧式空间最佳逼近函数构造三、问题的阐述1、欧式空间的定义 设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
3、 （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数（1）<ξ,η>=<η,ξ>（2）<ξ+η,ζ>=<ξ,ζ>+<η,ζ>（3）=a<ξ,η>（4）当ξ≠0时<ξ,ξ>0这里ξ,ζ,η是V的任意向量a是任意实数,那么V叫作对这个内积来说的一个欧几里的空间,简称欧式空间。2、举例说明例1：在Rn里对于任意两个向量
4、ξ=（x1，x2，…，Xn）η=（y1，y2，…，Yn）规定<ξ，η>=x1y1+x2y2+…+xnyn容易验证关于内积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的内积来说作成一个欧式空间。（1）.（经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x1y1+...+xnyn，则R^n为欧几里德空间。（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。）（2）.设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。3、最佳逼近
5、的含义逼近理论是将如何将一函数用较简单的函数来找到最佳逼近，且所产生的误差可以有量化的表征，以上提及的"最佳"及"较简单"的实际意义都会随着应用而不同。数学中有一个相关性很高的主题，是用广义傅立叶级数进行函数逼近，也就是用以正交多项式为基础的级数来进行逼近。计算机科学中有一个问题和逼近理论有关，就是在数学函式库中如何用计算机或计算器可以执行的功能(例如乘法和加法)尽可能的逼近某一数学函数，一般会用多项式或有理函数(二多项式的商)来进行。逼近理论的目标是尽可能的逼近实际的函数，一般精度会接近电脑浮点运算的精度，一般会用
6、高次的多项式，以及(或者)缩小多项式逼近函数的区间。缩小区间可以针对要逼近的函数，利用许多不同的系数及增益来达到。现在的数学函式库会将区间划分为许多的小区间，每个区间搭配一个次数不高的多项式。 给定函数ƒ(x)，用来逼近ƒ(x)的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。逼近函数类可以有多种选择。n次代数多项式，亦即一切形（其中α0,α1,…,αn是实数，k＝0，1，…）的函数的集合；n阶三角多项式，亦即一切形(其中α0,α1,…,αn,b1,b2,…,bn是实数，k=1,2,…）的函数的集合，这
7、些是最常用的逼近函数类。其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。所以向量
8、a到W的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。有定理8.2.5得：对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。4、关于欧式空间中的最佳逼近设W是欧式空间V的一个有限维子空间是V的任意向量，在W上的正射影，那么
