《连续性概念》PPT课件

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1、第四章函数的连续性§1连续性概念一、函数在一点的连续性二、间断点及其分类三、区间上的连续函数第四章函数的连续性首页ק1连续性概念§2连续函数的性质§3初等函数的连续性在讨论函数极限时,我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题.它们的关系有函数值不存在，极限存在；函数值、极限值都存在，但不相等；函数值等于极限值.可用代入法求极限什么样的函数可用代入法求极限？函数连续的概念当自变量时间t变化无限小时，这些规律变量的变化也无限小.如气温随时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量.§1连续性概念首页×客观世界中许多

2、量的变化都是循序渐进的.这种连续变化的特点是：如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念.有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数曲线一种“连续”(不间断)的外观.从几何上看，首页×y0xx0要准确地把握曲线这些“连续”与“间断”的情况，需要精确的数学描述.若要曲线连绵不断，就要曲线在其每一定义点x0都能连接起来.可用极限概念描述如何描述？y=f(x)..一、函数在一点的连续性首页×则称f在点x0连续.设函数f在某U(x0)内有定义,1.定义1(P69)若例如,函数在点x=2连

3、续，因为又如,函数连续,因为在点x=0，注1函数f在点x0连续，则x0必属于f的定义域.y0x自变量x在该邻域内，变形：称差x-x0为自变量x在点x0的增量或改变量，2.连续的等价定义先介绍一个用来描述变量变化的概念——增量.设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，称函数值之差f(x0+x)-f(x0)为函数f(x)在点x0对应于自变量的增量x的增量或改变量.y+yyx0x记为y，注2增量是可正可负的，记为Δx，即即f(x)=f(x0)+y..可用增量描述变量.我们规定自变量的增量.xyy=f(x)且首

4、页×0+x在x0的基础上调整x时，市场的反应(销售的增减量)如何？它只是表示变量的一个新的记法.实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，他须要研究的是与增量x相应的增量y的关系.用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要角度.特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性.例如，设变量y—某商品销售量，x—该商品价格.在一定条件下，x与y的关系可用价格——销售函数来描述.作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是：如果现在价格是x0，如何分析增量x，y，正是微积分的灵魂.首

5、页×函数在点连续的充分必要条件是等价定义1注3函数在一点连续实质就是:因此,结合函数极限的定义可有函数在一点连续的-定义.首页×当自变量变化不大时,函数值变化也不大.首页×注4由上述定义,我们可得出函数f在点x0有极限与f在点x0连续之间的关系：函数在点连续的充分必要条件是(i)f在点x0有极限是f在点x0连续的必要条件.等价定义2(ii)“f在点x0连续”要求:f在点x0有极限且其极限值应等于f在点x0的函数值.f在点x0连续其中D(x)为狄利克雷函数.证明函数在点x=0连续,例1首页×证由f(0)=0及

6、D(x)

7、

8、1,为使只要取=,对任给的>0,即可按-定义推得f在点x=0连续.▌注函数在一点处连续是函数的局部性态，例1就是一个仅在点x=0连续的函数.3.左右连续首页×定义2设函数f在某U+(x0)(或U-(x0))内有定义,若则称f在点x0右(左)连续.f在点x0既是右连续,又是左连续.定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是：即且从而它在x=0不连续(见图4-1).首页×讨论函数在点x=0的连续性.解例2而所以f在点x=0右连续,但不左连续,函数的连续性在数学分析中是承上(极限理论与方法)启下(微分积分概念)的一

9、个重要环节，是使用极限工具研究函数变化的微观性态和宏观性态的开始.我们按如下方法定义一个函数：当时,当时,易见,对于函数,是它的连续点.设为函数的可去间断点,则称为的可去间断点.若，而在点无定义,间断点的分类首页×的间断点或不连续点.则称点或在点二、间断点及其分类定义3设函数内有定义，为函数而不连续,有定义1.可去间断点或有定义但则称点为函数的跳跃间断点.若函数在点的左、右极限都存在，但间断点的分类首页×2．跳跃间断点可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.3.函数的

10、所有其他形式的间断点使得函数至少一侧极限不存在的那些点,统称为第二类间断点.若函数在区间上仅有有限个第一类间断点,则称在上分段连续.则称为上的连续函数.若函数在区间上的每一点都连续,三、区间上的连续函数首页×对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.在内任何无理点处都连续,思考题首页×试证