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1、新课标高中一轮总复习第二单元函数第13讲函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象，能用二分法求近似解.1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点３,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.0,-1因为函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是３，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()CA.(3,4)B.(2,3)C.(1,2
2、)D.(0,1)利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根据选择支只有区间（1，2）满足.3.（2010·山东省实验中学模拟）函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()CA.-1C.a>或a<-1D.a<-1令f(-1)·f(1)<0，得a>或a<-1，故选C.4.(2010·山东枣庄模拟)已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且03、为负值D.不大于0因为f(x)在定义域（0，+∞）上单调递减，当x→0时，f(x)→+∞.因为f(x0)=0，所以f(x)=0只有一个实根.所以当00恒成立，故选A.5.设a、b、c均为正数，且2a=loga，()b=logb,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是.c>a>b考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知，1，所以c>a>b.1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使①.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象②函数y=f(x)③.(3)如果函数y=f(
4、x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且④,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有⑤,即存在c∈(a,b)，使得⑥,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x与x轴有交点有零点f(a)·f(b)<0零点f(c)=02.二分法(1)对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间⑦,使区间的两个端点逐步逼近⑧，进而得到零点近似值的方法叫做⑨.(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：一分为二零点二分法第一步，确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;第二步，
5、求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:即若
6、a-b
7、<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.题型一函数零点的判断例1(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.(1)令f(x)=x3+x2-2x-1，则
8、f(-2)·f(-1)=(-1)×1=-1<0，所以方程在(-2,-1)上有根，同理②④皆可，故所求区间为①②④.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要构造函数，观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+
9、lgx
10、=2的实根的个数,可考察函数y=
11、lgx
12、,y=2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点
13、个数问题，常转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性.已知函数f(x)=ex-k-x，其中x∈R.（1）k=0时，求函数f(x)的值域；（2）当k>1时，函数f(x)在[k,2k]内是否存在零点，并说明理由.所以f(x)在（-∞,0)内单调递减.x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内单调递增，所以x=0时，f(x)取到极小值.又因为这个极小值是R
