无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计

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1、第三章无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计概述:许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。数字滤波器——线性时不变系统。数字滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统函数分类:递归系统IIR非递归系统FIR高通低通带通带阻数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性

2、能要求，即求h(n)的表达式确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求——第三章、四章讨论3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。设计方法：1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。2）最优化设计方法分两步：a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出

3、的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，b)在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。11-δ1δ2ωc0ωrπ通带过渡带阻带ω§3.1根据模拟滤波器设计IIR滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤

4、波器传递函数Ha(s)设计数字渡波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内

5、Z

6、<1。下面讨论两种常用的映射变换方法：一、脉冲响应不变法利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模

7、拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期。①如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即Ha(s)=L[ha(t)],H(z)=Z[h(n)]计算H(Z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有所以有比较看到：S平面上的极点S=Si变换到Z平

8、面上是极点,而Ha(s)与H(Z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，即,因此数字滤波器保持稳定。根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系。②①理想采样的拉氏变换与模拟信号的拉氏变换之间的关系。②理想采样的拉氏变换与采样序列的Z变换之间存在的S平面与Z平面的映射关系.s平面与z平面的映射关系以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所

9、完成的S平面到Z平面的变换，正是以前所讨论的拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。映射关系：S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。因为e以2拍为周期S平面Z平面应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平