无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计

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1、§3．3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：原型变换映射变换原型变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟

2、低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。一．低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器传递函数）例1设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1k

3、hz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为：以代替其归一化频率，得：也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以代替归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有将上式部分系数

4、代入数字滤波器的传递函数：,--极点并将代入，得：合并上式后两项，并将代入，计算得：可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。最后得：例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数,这一结论适合于所有的数字滤波器设计。b.双线性变换法P85例4（一）首先确定数字域临界频率（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函

5、数并将代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法fs/2020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频率/Hz图3.14三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅值图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率

6、的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。二.高通变换设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：①先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的高通、带通、带阻模拟滤波器的设计Ha(s)H(Z)②直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。

7、变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.即由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方

8、向颠倒了。即如图映射到即映射到即图1高通变换频率关系这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将坐标倒置，因而通过这一