数学模型之SIR数学模型

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1、动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学模型传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型数学模型已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1【模型假设】若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者

2、(健康人)【模型构成】?数学模型模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病~日接触率SI模型数学模型【模型假设】【模型构成】模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大数学模型模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人

3、数，称为接触数。数学模型【模型构成】模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0数学模型模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/需建立的两个方程数学模型【模型假设】【模型构成】模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质数学模型消去dtSIR模

4、型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析数学模型si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0数学模型模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫数学模型模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<

5、