2013年高考数学试题集(17)推理与证明

《2013年高考数学试题集(17)推理与证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、2013年高考数学试题集(17)推理与证明将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。1.（福建文科12）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中，正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4答案：C2.（广东理科8）设是整数集的非空子集，如果，有，则称关

2、于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集，，且，有；，有，则下列结论恒成立的是A．中至少有一个关于乘法是封闭的B．中至多有一个关于乘法是封闭的C．中有且只有一个关于乘法是封闭的D．中每一个关于乘法都是封闭的（A）．若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C，若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D3.（广东理科20）（本小题满分14分）设，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．（1）解：∵∴∴①当时，，则是以为首项，为公差的等差数列∴，即②当且时，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴∴

3、综上所述（2）方法一：证明：①当时，；②当且时，∴对于一切正整数，．方法二：证明：①当时，；②当且时，要证，只需证，即证即证即证即证∵，∴原不等式成立∴对于一切正整数，．4.（广东文科10）设是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意，；=.则下列等式恒成立的是（）A.B.C.D.解：，故A不成立；，故B成立。5.（广东文科20）（本小题满分14分）设，数列满足,（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，。解:(1)依题意得：，取倒数得：，①当时，数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，，则当时，令，则，用待定系数法得：，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，数列

4、的通项公式是（2）当时，不等式可以验证，显然成立；当时，不等式等价于证明，即证明又6.(湖北理科15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，，，，，由此推断，，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种

5、，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.7.（湖南理科16）对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）（2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：。又恰为2进制的最大7位数，所以。8.（湖南理科22）（本小题满分13分）已知函数()=，g()=+。（Ⅰ）求函数h()=()g()的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都

6、有≤ .解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，

7、显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.9.（江西理科7）观察下列各式:则的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.8125答案：D解析：又，所以的末四位数与的末四位数相同。10.（江西理科10）如右图，