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1、对开普勒假设的一个证明张天树tianshu_zhang507@aliyun.com摘要尽可能地堆积相等的球到一个立方体中，那么，在这个立方体中相等球的总体积与它们在这个立方体中的排列有关.开普勒假设提到的π/√18是在一个立方体中堆积相等球的总体积达到上极限的情况下与这个立方体体积之比值.在本文中，我们将对在一个立方体中的相等球作最紧密的排列，并随着相等球单个体积越来越小，数量越来越大，总体积越来越大直到趋向于上极限，以此去证明开普勒假设.关键词相等球、排列、立方体、长方体、立方形、矩形、球心、体积、微分立方体、似点球、上极限、比值
2、、π/√18.基本概念首先让我们回顾一下下面几个最基本的概念：开普勒假设是说：堆积相等的球到一个立方体中，那么，在这个立方体中相等球的体积与这个立方体体积之比不大于π/√18.假设正方体的棱长是α,那么这个正方体的体积是α3,和它的内切球的体积等于πα3/6.立方体内切球体积与这个立方体体积的比值等于π/6.假设长方体的棱长是α,β和γ，那么这个长方体的体积是αβγ.假设矩形的长是α,宽是β，那么这个矩形的面积是αβ.假设正方形的边长是α,那么这个正方形的面积是α2.以上提到的α,β和γ都是实数.这里我们需要强调一点：从数轴上，你能
3、够取到任意实数长的线段去作直平行六面体的棱长或球的直径.证明假设正方体K的棱长是L,那么，它的体积等于L3,7它的每一个正方形表面的任一对角线等于√2L，这里L是一个实数.在这个证明中，我们将选取与正方体K全等的立方体K2作为堆积相等球的立方体.假设立方体N的棱长是6√2L,那么，它的体积等于√2L3,及它的内切球的体积等于√2L3π/6.从以上可以得到：立方体N的内切球的体积与立方体K的体积之比等于√2π/6,即π/√18.这个比值恰好是开普勒假设提到的那个上极限比值.假设立方体M的棱长是√2L,那么，它的体积等于2√2L3.因为
4、，有L<6√2L<√2L,因此，我们让立方体K位于立方体N的中部，又让立方体N位于立方体M的中部，并且使它们每一个都有两个水平的表面，每一个的任意一对相对表面与其它两个的两对相对表面平行.立方体N的体积减去立方体K的体积后的环形体的体积等于(√2-1)L3.即√2L3-L3=(√2-1)L3.在立方体K的上部水平正方形表面与立方体M的上部水平正方形中部的正方形之间有一个长方体.同样地在立方体K的底部水平正方形表面与立方体M的底部水平正方形中部的正方形之间也有一个与上面那个长方体相等的长方体.它们每个的高是1/2(√2L-L)，每个都
5、有长度为1/2(√2L-L)的四条棱，和长度为L的八条棱.经过简单的计算，这两个长方体的体积和等于(√2-1)L3,当然，从理论上讲，也包括立方体M的上部和底部水平表面中部的两个正方形面积.由此可见，这两个长方体的体积和正好等于立方体N减去立方体K后的环形体的体积，因为它们每个的体积都是等于(√2-1)L3.这两个长方体加上立方体K组成一个长方体，我们给这个长方体命名为“长方体R”.长方体R的长、宽和高分别是L,L和√2L，体积等于√2L3.立方体N的棱长是6√2L,体积也是等于√2L3。因此，长方体R的体积等于立方体N的体积.显然
6、，立方体K既是立方体N的中部，又是长方体R的腰部.7现在，需要划分立方体M成y3个较小的相等立方体，或y3个较小的相等立方体加上剩余部分，这里，y是一个自然数.随着y值变得越来越大，立方体M被划分成越来越小的相等立方体，或者是越来越小的相等立方体加上剩余部分.当然，在立方体M中的立方体N和长方体R也不会例外.立方体M每次被划分后，在立方体N的体积与立方体N中全部较小的相等立方体的总体积之间都有一个差.另外，在长方体R的体积与长方体R中全部较小的相等立方体的总体积之间也有一个差.随着y变得越来越大，这样的两个差都会变得越来越小.如果y
7、趋向于无穷大，那么这两个差都将趋向于零.就是说，在y趋向无穷大的情况下，立方体N中的全部微小相等立方体的总体积趋向于立方体N的体积.以及,长方体R中的全部微小相等立方体的总体积也趋向于长方体R的体积.在y趋向无穷大的情况下，在立方体M中只有微小的相等立方体或微小的相等立方体加上其剩余部分.在下文中，这样的微小相等立方体被我们称作微分立方体，而微分立方体的内切球被称作似点球.另一方面，立方体M中微分立方体和似点球只能够在y趋向于无穷大、立方体M趋向于无限划分的情况下才能产生.因为长方体R的体积等于立方体N的体积，所以长方体R中全部微分
8、立方体的总体积趋向于立方体N中全部微分立方体的总体积.因为立方体M中的微分立方体彼此相等，那么长方体R中全部微分立方体的数目趋向于立方体N中全部微分立方体的数目.因为每一个微分立方体只含有一个似点球，因此，长方体R中全部微分立方体的似
