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1、第第22章章光场的傅里叶分析光场的傅里叶分析§2.1傅里叶变换§2.2时间信号的傅里叶分析§2.3二维傅里叶变换和空间频率§2.4平面波的角谱§2.5消逝波傅里叶光学数学、电子技术、通信理论与光学相结合，给光学引入了频谱、空间滤波、载波、线性变换及相关运算等概念把图像看作是由缓慢变化的背景、¢传统上，用光粗的轮廓等比较低的“空间频率”强、振幅的空成分和急剧变化的细节等比较高间分布来描述的“空间频率”成分构成的，用频光学图像率的分布和变化来描述光学图像。“空域”“频域”光学不仅用光强、振幅和透过率的空间
2、分布描述光学图像也用空间频率的分布变化描述光学图像。2§§2.12.1傅里叶变换傅里叶变换FourierTransformFourierTransform§2.1.1Fourier变换§2.1.2Fourier变换的性质法国数学家傅里叶§2.1.3基本Fourier变换对(JosephFourier)(1768～1830)§2.1.4卷积§2.1.1Fourier变换一、Fourier变换定义¢若函数fxy(,)在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件其傅里叶变换定义为∞Ff()xy,ff=+∫∫()x
3、,eyjxp-2⎡⎤⎣⎦π()fxxfyyddxy−∞函数F()fx,fy的傅里叶逆变换为∞fxy(),,=+∫∫Fff()xyxexp⎡⎤⎣⎦j2dπ(fxfyffy)xdy−∞用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数4傅里叶频谱概念和狄里赫利条件¢函数f()x,y是各种频率为fx,fy的余/正弦函数的叠加，叠加时的权重因子是Fff(,)。xy傅里叶变换Fff(,)xy常称为函数的频谱¢傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种。∞2¢函数绝对平方可积：∫∫fxydx
4、dy(),<∞−∞¢狄里赫利条件：“在任一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而且没有无穷大间断点”5两点说明¢事实表明:作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。从应用角度看，傅里叶变换总是存在的。¢在应用问题中常遇到一些理想化的函数(sin,cos,1…)不能满足傅里叶变换的存在条件，物理上也不可能严格实现。可借助于函数序列极限的概念，定义其广义傅里叶变换1xF[()]δx=F[limrect()]limsi
5、n(==cbf)1xbb→→00bb6§2.1.2Fourier变换性质和定理设：Fgxy{(,,)}==Gff(xyx)Fhxy{(,,)}Hff(y)（1）线性（Linearity）定理：F{agxy(),,+=+bhxy()}aGf(xy,f)bHf(x,fy)系统对同时作用的几个输入（或激励）所产生的输出（或响应）恒等于每个输入单独引起的输出之和。谱分离：不同物体在空间的重叠不影响其F频谱的独立性图象叠加，谱分离，为图象处理提供可能。71⎛⎞fxfy（2）相似性（Scaling）定理：Fgax
6、by{}(),,=G⎜⎟ab⎝⎠ab空间域坐标（x,y）的伸展导致频域坐标（f,f）的压缩，附加频谱幅度变化xy极限情况δ函数8L1L2Σ衍射图样光学上衍射孔径的伸展导致衍射图样压缩极限情况：无衍射孔（空间域1）一个点（频域δ函数）（几何光学像）衍射孔衍射图样9（3）位移（Shifting）定理：Fgxayb{}()−−=,,Gff(xy)exp⎡⎣-j2π(fafbx+y)⎤⎦函数在空域中的位移，带来频域中的相移物方位置平移导致其频谱有一线性相移（方向改变）引起像方位置变化,频谱不变，光强分布不变点
7、光源位移agxy(,)=δ(,)xyFxay[(δ−,)]Fgxy[(,)]=Fxy[(,)]1δ==⋅1exp(2−ifaπ)x位相因子改变表示光传播方向改变10位移定理：Fgxy{(),exp2⎡⎤⎣⎦jπ(fxfyab+=−−)}Gffff(xa,yb)函数在空域中的相移，带来频域中的位移sinθ0设gxy(,1)=相移因子exp[2jxπ]λ⎧⎫sinθθ00⎛sin⎞Fgxy⎨⎬(),exp[2jxπδ]=−⎜⎟f,0x⎩⎭λλ⎝⎠fxx物方的相移（方向变化，斜入射），导致其频谱的位置平移，
8、频谱不变．11物函数方向、位置变化不影响其频谱，既其物质结构不会变化。→衍射分析物质结构的数学基础（4）帕色伐（Parseval）定理∞∞22∫∫gxyxy(),dd=∫∫Gff()xy,dxyd−∞−∞物面上的光能频谱面上的光能F
9、G(f,f)
10、2为物理信号g(x,y)的功率谱（或能量谱）xy该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。当光学系统损耗(反射吸收等)可以忽略时，光能量守恒。12（5）傅里叶积分定理：在函数g(x,y)的各个连续点上有-1-1F
