量子信息学引论第5讲

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1、量子信息学引论IntroductiontoQuantumInformationScience第五讲清华大学2012.10.171复习内容回顾量子力学假定把物理概念与数学概念联系起来状态空间→Hilbert空间时间演化→酉变换测量→测量算子复合系统→张量积空间超密编码•Alice和Bob各拥有量子纠缠对的一半.•Alice可用超密编码送给Bob两个经典位,而只使用一个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态.4第一位经Alice变换后系统的状态(左)与Bell态(右)的比较I001100:2Z001101:2X100110:2iY100111:2如何实验

2、实现，参阅：Phys.Rev.Lett.76,4656(1996)5密度算子Thedensityoperator•量子力学的形式化语言：态矢量（Statevector),密度算子（或密度矩阵:densitymatrix）。•此二方法在数学上等价，但密度算子对思考一些量子力学中常见的现象更方便。•用量子态系综的概念引入密度算子•发展密度算子的一般性质。6量子态系综Ensemblesofquantumstates密度算子(密度矩阵)在描述状态不完全已知的系统时很有用。设系统处于态的概率i为p，则纯态的系综定义为:ipi,i系统密度算子(密度矩阵):piiii量子力学的假定都

3、可以用密度算子的语言重新描述。7例子:测量结果丢失后系统状态测量结果m（M）丢失后，我们仅知道系统m处在的概率为p(m),这时的系统可以用下面m密度算子描述：pmmmMMmmtrMMmmmtrMMmmMMmmm8量子力学引论II2.2.1状态空间2.2.2量子状态演化2.2.3量子测量2.2.4区分量子态2.2.5投影测量2.2.6POVM测量2.2.7相位2.2.8复合系统2.2.9量子力学:总览2.3超密编码2.4密度算子密度算子的一般性质Generalpropertiesofthedensityoperator一个算子是与某个系综相联系

4、的密度算子，当且仅当:1）其迹为1。2）算子为正定的。10密度算子性质的应用•可以不依赖状态矢量的语言.•用密度算子可以对量子力学的假定重新陈述.11假定1:系统状态与任何孤立物理系统相联系的是一个具有内积的复矢量空间(即Hilbert空间),称为系统的状态空间.系统由其密度算子完备描述,此密度算子为正定的且迹为1,作用于系统的状态空间上.如果一个量子系统以概率pi处于i,则系统的密度算子为:ipii12假定2:状态演化一个封闭量子系统的演化是由一个酉变换来描述的。即系统在时刻t的1状态与系统在时刻t的状态是由只依2赖于时刻t和t的酉算子U来描述的:12'UU13假定

5、3:量子测量量子测量由一组测量算子的集合M来描述。m这些是作用在被测系统的状态空间上的算子。索引m指的是实验中可能发生的测量结。如果测试前系统的状态为,则测得结果m的概率为:p(m)trMmMmMM且测量后系统的状态为:mmtrMMmmMMI测量算子满足完备性方程:mmm14假定4:复合系统•一个复合物理系统的状态空间是组元物理系统的状态空间的张量积.•进一步地,拥有编号从1到n的系统，且第i号系统被制备到状态i,则全系统的联合状态(jointstate)是：12n15密度算子的两个重要应用•描述状态未知的量子系统.•描述一个复合量子系统的

6、子系统.16密度算子的两个值得注意的问题•(1)密度矩阵的本征值和本征向量对量子态系统是否的特殊意义?•(2)什么样的系统给出一个特定的密度矩阵?17密度矩阵的本征值和本征向量对量子态系综是否有特殊意义?无!•例:18什么样的系综产生一个特定的密度矩阵?定义:(集合生成算子)设集合~生成算子~~.，iiii与普通密度算子系综的关系由~p来描述。iii定理2.6:(在密度矩阵的系综中的酉自由)~~两个集合i和j生成相同的密度矩阵,当且仅当:~~iuijj,j其中,u是具有复数元素的酉阵,具有索引i和j,并且我们对于矢量集合ij~~或j小的那个附加另外的矢量

7、0,使得这两个集合具有同样数目i的元素.19纯态量子比特对于任意迭加态01用角度来表示：iiecos0esin122i整体相因子e可以略去20单比特的几何表示,Bloch球面i0cos0esin122和确定了三维单位球面上的一个点。这个球面通常称作Bloch球面。11Isincosx2211sinsincosyz221泡利矩阵01此图不能表示多量子位