连续介质力学-3b

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1、连续介质力学连续介质力学第三章守恒定律和连续介质热力学(b)理学院力学系2009-03—2009-06韩斌34第三章守恒定律和连续介质热力学3.5各种应力张量的物理意义1.1.各种应力的物理意义与区别各种应力的物理意义与区别前面讨论动量守恒时,通过面元的面力引入了各种应力张量：dCauchy应力张量(或真应力)σddd−T第一类Piola-Kirchhoff应力张量S=Jσ⋅F—ddd应力张量的意义非对称名义应力张量STJF−1T(3.22)=⋅σ第二类Piola-Kirchhoff应力张量ddddddT=F−1⋅S=JF−1⋅⋅F−T(3.23)σ2d第三章守恒定律和连

2、续介质热力学1)Cauchy应力张量为当前构形σr中的应力张量,在r中的Euler坐标{xi}或L氏随体坐标{XA,t}中分解：dddddijABσ=σgg=σCC(3.24)ijABijABijijAB且应力分量σ,σ满足坐标转换关系σ=xxσ,A,Bddddd2)σ的物理意义：σ⋅ad=σ⋅nds为变形后构形rd中作用于面元da上的面力。ddddd即即σ⋅n=t(n)为面元为面元da上单位面积作用的力上单位面积作用的力。—dd应力张量的意义Ndddn−Tad=JF⋅dAdddddddad=ndsdA=NdSxd=F⋅dX变形前R构形变形后r构形3d第三章守恒定律和连续

3、介质热力学3)第一类Piola-Kirchhoff应力张量为两点张量S,在r中Euler坐标{xi}的基矢和R中Lagrange坐标{XA}d−Td−1TAddiT的基矢下分解(利用F=(F)=(X,iGAg)):ddddddd−TAijiAS=Jσ⋅F=JXσgG=SgG,jiAiA(3.26)ddddddd−T4)注意到σ⋅ad=σ⋅(JFdA)=S⋅dAd即第一类P-K应力Sd的物理意义也为变形后构形r中作用于面元dad上的面力，但计算时使用d—的是对应于ad的变形前的面元。应力张量的意义dddANdddn−Tad=FJ⋅dAdddddddad=ndsdA=NdSx

4、d=F⋅dX变形前R构形变形后r构形4第三章守恒定律和连续介质热力学但是注意dddddddS⋅dAσ⋅daddadddS⋅N=d=d=σ⋅nd=σt(n)ndAdAdAddddd即即S⋅N=σt(n)为作用于为作用于rr中面积为中面积为σn的的n方向方向n面元上的面力。面元上的面力。dd面积为σn—面积为1Ndddn应力张量的意义−Tad=FJ⋅dAdddddddad=ndsdA=NdSxd=F⋅dX变形前R构形变形后r构形5d第三章守恒定律和连续介质热力学5)第二类Piola-Kirchhoff应力张量T是参考构形R中的应力张量，在R中的Lagrange坐标{XA}中d

5、ddddddd−1−TABAB(3.29)分解：T=FJ⋅σ⋅F=JσGG=TGGABABdddddd−1A−TA(利用F=GC,F=CG)AAd1ddd6)注意到Tσ=F⋅T⋅FJddddddd—∴σ⋅ad=S⋅dA=F⋅T⋅dA应力张量的意义ddNdddn−Tad=JF⋅dAdddddddad=ndsdA=NdSxd=F⋅dX变形后r构形6变形前R构形第三章守恒定律和连续介质热力学ddddddd∴σ⋅ad=S⋅dA=F⋅T⋅dAddd故T⋅dA是变形前构形R中的面元dA上的面力ddddddd同理，注意到F⋅T⋅N=S⋅N=σt(n)nddd即即T⋅N经过经过F的变换后

6、等于作用于变形后的变换后等于作用于变形后drr构构形中面积为形中面积为σn的的n方向面元上的力。方向面元上的力。dd—面积为σn应力张量的意义面积为1Ndddn−Tad=FJ⋅dAdddddddad=ndsdA=NdSxd=F⋅dX变形前R构形变形后r构形7第三章守恒定律和连续介质热力学2.2.各种应力张量的主方向各种应力张量的主方向我们已引入了许多张量如右、左ddCauchy-Greendd变形张量dC,,B右、左伸长张量U,,V变形率张量D,它们都有各自的主方向:dddC和U的主方向为Lagrange主方向LdddαB和V的主方向为Euler主方向lαddD的主方向也

7、为Euler主方向ναdd—d各种应力张量主方向右、左Cauchy-Green变形张量C，的主方向BLddα和lα之间的关系由变形梯度F极分解的转动张d量相联系：RddddddTl=R⋅LL=R⋅l(3.48)αααα8第三章守恒定律和连续介质热力学dd注意变形率张量D的主方向dν与左Cauchy-Greendα张量B的Euler主方向一般是不一致的。lα关于本节引入的各种应力张量，假定：dddCauchy应力张量σ的主方向为lα(σ)ddd第二类Piola-Kirchhoff应力张量T的主方向为L(T)ddαdd一般情形下l