西安交大复变函数课件5-1-1本性奇点

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1、第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考一、孤立奇点的概念定义如果函数f(z)在z0不解析,但f(z)在z0的某一去心邻域0zz内处处解析,则称0z为f(z)的孤立奇点.01sinz例1z0是函数ze,的孤立奇点.z1z1是函数的孤立奇点.z1注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.22z例2指出函数f(z)在点z0的奇点特性.1sinz解函数的奇点为1z0,z(k1,2,)k1因为lim0，kk即在z0

2、的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在,所以z0不是孤立奇点.3孤立奇点的分类依据f(z)在其孤立奇点z的去心邻域00zz内的洛朗级数的情况分为三类:01．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.1．可去奇点1)定义如果洛朗级数中不含zz0的负幂项,那末孤立奇点z称为f(z)的可去奇点.04说明:(1)z若是f(z)的孤立奇点,0nf(z)cc(zz)c(zz).010n0(0zz)0其和函数F(z)为在z0解析的函数.(2)无论f(z)在z是否有定义,补充定义0f(z0

3、)c0,则函数f(z)在z0解析.F(z),zz0f(z0)limf(z)f(z)zz0F(z)(即c）,zz00052)可去奇点的判定(1)由定义判断:如果f(z)在z0的洛朗级数无负幂项则z为f(z)的可去奇点.0(2)判断极限limf(z):若极限存在且为有限值,zz0则z为f(z)的可去奇点.06sinz1214例31zz中不含负幂项,z3!5!sinzz0是的可去奇点.z如果补充定义:sinzz0时,1,zsinz那末在z0解析.z7ze1例4说明z0为的可去奇

4、点.zze11121n解(1zzz1)zz2!n!11n11zz,0z2!n!无负幂项ze1所以z0为的可去奇点.zze1z另解因为limlime1,z0zz0ze1所以z0为的可去奇点.z82.极点1)定义如果洛朗级数中只有有限多个zz0的1m负幂项,其中关于(zz0)的最高幂为(zz0),m21即f(z)cm(zz0)c2(zz0)c1(zz0)cc(zz)(m1,c0)010m11或写成fz(

5、)f(z)mgz(),()mgzg(z在)z,0处解析,且gz()00()zz(0zz0)那末孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.9说明:(1)2g(z)cc(zz)c(zz)mm10m20特点:1.在zz0内是解析函数2.g(z0)0(2)如果z0为函数f(z)的极点,则limf(z).zz03z2例5有理分式函数f(z)2,z(z2)z0是二级极点,z2是一级极点.102)极点的判定方法(1)由定义判别f(z)的洛朗展开式中含有zz的负幂项为有

6、限项.0(2)由定义的等价形式判别g(z)在点z0的某去心邻域内f(z)m(zz)0其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)0.(3)利用极限limf(z)判断.zz0113.本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个zz0的负幂项,那末孤立奇点z称为f(z)的本性奇点.01z1121n例如，e1zzz,2!n!含有无穷多个z的负幂项(0z)1所以z0为本性奇点，同时z不存在.limez0特点:在本性奇点的邻域内limf(z)不存在且不zz0为.12综上所述:孤立奇点

7、洛朗级数特点limf(z)zz0存在且为可去奇点无负幂项有限值含有限个负幂项1m级极点关于(zz0)的最高幂m为(zz)0不存在本性奇点含无穷多个负幂项且不为13二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数f(z)如果m能表示成f(z)(zz0)(z),其中(z)在z0解析且(z0)0,m为某一正整数,那末z0称为f(z)的m级零点.3例6z0是函数f(z)z(z1)的一级零点，3z1是函数f(z)z(z1)的三级零点.注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的

8、.142.零点的判定如果f(z)在z解析,那末z为f(z)的m级00零点的充要条件是(n)(m)f(z0)0,(n0,1,2,m1);f(z0)0.证(必要性)如果z0为f(z)的m级零点m由定义:f(z)(zz0)(z)设(z)在z的泰勒展开式为:02(z)cc(zz)c(zz),0102015其中c0(z0)0,从而f(z)在z