电磁场与电磁波——Chap01 矢量分析D

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1、§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理•1、矢量场的环量∑概念：–分析矢量场性质时，另一个重要的概念是矢量场沿闭合曲线的环量–规定了正向的曲线称为有向曲线；在矢量场A中从一点开始沿着某一有向曲线C到另一点的路径上每一有向线元是一个矢量，称为线元矢量dl，vv–将矢量A和dl的标量积累加，则A沿曲线C的线积分为：∫A⋅dl=∫AcosθdlCC–若C为闭合曲线时，则该表示矢量场A沿闭合曲线C的标性线积分称为矢量A沿闭合曲线C的环量,vvCv∫A⋅dl=∫AcosθdlvACCdlv∑物理意义：A°环量是一个标量，

2、表示绕环线旋转趋势的大小；°若某一矢量场的环量不等于0，则认为场中存在漩涡源，是一个有旋场。§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理∑无旋场与有旋场：P2vvvv–在矢量场A(r)中的任意两点P和P之间的线积分为∫A⋅dl=∫A⋅dl12P1LP–任意选取两条路径，PmP和PnP1v1212vvvvA若∫A⋅dl=∫A⋅dlnP1mP2P1nP2vvvvvv则∫A⋅dl=∫A⋅dl＋∫A⋅dlmP1mP2nP1P1mP2P2nP1vvvvP=∫A⋅dl−∫A⋅dl=02P1mP2P1nP2–因此，若矢量场A的线积

3、分值只与积分路径的起止点有关而与路径无关，–即矢量场A沿任意闭合环路的环量都为0，具有这样特性的矢量场称为无旋场或保守场。–否则，则称为有旋场或非保守场–如何判断？如何知道每个点附近的环流状态？——需引入旋度的概念v§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理vrotAdS•2、矢量场的旋度1）环量面密度•作一条围绕P点的闭合曲线C，保持面元方向e不变，n•将闭合路径缩小，使它所包围的面积元ΔS→0，•若环量与面积之比的极限存在，则称该极限式为vv•矢量A在该点沿方向en的环量面密度v∫A⋅dlCrotA=limn•

4、环量面密度不仅与位置有关，还与面元法线ΔS→0ΔS方向有关，在某个方向上可能取得最大值。2）旋度•定义：矢量场A在某点的旋度为一个矢量，⎡vv⎤•大小:矢量场在该点环量面密度的最大值⎢⎣∫A⋅dl⎥⎦vvCmaxrotA=elim•方向:在该点取得最大环量面密度的方向；nΔS→0ΔS•物理意义：该点的漩涡源的强度和方向,•若该点旋度不为0，则该点有漩涡源；旋度不为0的场称为有旋场；•若矢量场旋度处处为0，则称为无旋场或保守场•矢量场在某点处沿某一方向的环量面密度等于该点处的旋度在此方向上的投影，即vvvrotA

5、=rotA⋅enn§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理¾计算公式:vvv°环量面密度rotnA=rotA⋅en°旋度：vvrotA=∇×A直角坐标系中:vv⎛v∂v∂v∂⎞vvvrotA=∇×A=⎜e+e+e⎟×()eA+eA+eA⎜xyz⎟xxyyzz⎝∂x∂y∂z⎠vvveeexyz=∂∂∂v⎛⎜∂Az∂Ay⎞⎟v⎛∂Ax∂Az⎞v⎛⎜∂Ay∂Ax⎞⎟∂x∂y∂z=ex⎜−⎟+ey⎜−⎟+ez⎜−⎟⎝∂y∂z⎠⎝∂z∂x⎠⎝∂x∂y⎠AAAxyzvv∂A∂A∂AxyzdivA=∇⋅A=++∂x∂y∂z•矢

6、量场在某点的旋度表征了该点场矢量在各个方向上的分量沿着与其正交方向的变化率所决定的特性§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理vvveρeeρϕz圆柱坐标系:vv1∂∂∂rotA=∇×A=ρ∂ρ∂ϕ∂zAAAρϕz球坐标系:vvverersinθevvrθz1∂∂∂rotA=∇×A=2rsinθ∂r∂θ∂ϕArArsinθArθϕ§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定理•3、斯托克斯定理¾定理：若矢量场A的各分量在给定空间区域内有一阶连C续偏导数，则矢量场A在闭合曲线C上的环量等于闭合曲线C所围曲面S上A的旋度的面

7、积分，即：vvvv∫A⋅dl=∫(∇×A)⋅dS¾证明：CS将闭合曲线C所围曲面S分成许多小面元ΔS，对应周界为ΔCii，绕行方向与面元矢量方向e成右手螺旋关系vvniA⋅dl∫ΔivvvvvCiQrotnA=rotA⋅enlim=()∇⋅A⋅eniΔSi→0ΔSivvvvvv即：A⋅dl＝lim(∇⋅A)⋅eΔS＝lim(∇⋅A)⋅ΔS∫i0nii0iΔCiΔSi→ΔSi→vvvvvvvv又∫S(∇⋅A)⋅dS=∑(∇⋅A)⋅dSi=∑∫ΔCiA⋅dli=∫CA⋅dliiy§1.5矢量场的环量及旋度斯托克斯定

8、理P2•4、举例vv2v2¾例1:已知矢量场A=exx+eyxy求A沿闭合曲线C的环量。(其中P1P2段为半径为a的四分之一圆)xOP¾解：1)根据环量定义，分段求线积分11vvvvv1x31OP段：A⋅dl=()ex2+exy2⋅()edx=x2dx==1lxyx∫l1∫l∫03311x=0vvv2v2v02P2O段：A⋅dll=(exx+eyxy)⋅(−eydy)=(−xy)dy=