电磁场与电磁波——chap01 矢量分析bnew

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1、§1.3标量场的方向导数及梯度fvf+df•1、方向导数dlPP’vvv–设有一个标量场f(r)，从场中某点P位移dl到邻近rr+dl的另一点，此标量场的数值从f变化为f＋df；Odf称为标量场函数在点P处沿l方向的方向导数。dl•方向导数是一个标量•表示标量场场域某点处场量函数沿某一方向对距离的变化率；•沿不同方向，某点上的方向导数是不同的•沿哪个方向的变化率最大呢？——梯度方向§1.3标量场的方向导数及梯度•2、梯度设f和f＋df为f值相差很小的两个等值面，且df>0；11dn表示沿等值面法线方向位移，且指向f值增大向,dl表示其他方向的位移,设dn和dl的

2、单位矢量e和e的夹角为θ。nldfdfdndfdfvvvvv==cosθ=e⋅e=G⋅edndldndldndnnllθvdlvdfvdfvvMG=gradf=e=G⋅enldndlf＋df1¾标量场f在M点沿dl方向的方向导数等于矢量G在此方向上的投影f¾矢量G称为标量场f的梯度（gradient）,其物理含义：1o大小：该点的最大方向导数的值o方向：使该点方向导数最大的方向，垂直于过该点的等值面§1.3标量场的方向导数及梯度dfvvvv¾梯度计算=G⋅edf=G⋅dlldl又在直角坐标系中：∂f∂f∂f⎛v∂fv∂fv∂f⎞vvvdf=dx+dy+dz=⎜⎜

3、ex+ey+ez⎟⎟⋅()exdx+eydy+ezdz∂x∂y∂z⎝∂x∂y∂z⎠v⎛v∂fv∂fv∂f⎞gradf=G=⎜e+e+e⎟⎜xyz⎟⎝∂x∂y∂z⎠为方便，引入哈密顿算符∇，∇=ev∂+ev∂+ev∂xyz兼有矢量和微分运算双重作用∂x∂y∂zv⎛v∂v∂v∂⎞vgradf=G=∇f=⎜e+e+e⎟f()r⎜xyz⎟⎝∂x∂y∂z⎠dfvvv=G⋅e=∇f⋅elldl§1.3标量场的方向导数及梯度¾不同坐标系下，哈密顿算符∇表达式不同v∂v∂v∂直角坐标系:∇=ex+ey+ez∂x∂y∂z圆柱坐标系:v∂v1∂v∂∇=e+e+eρϕz∂ρρ∂ϕ∂z

4、球坐标系:v∂v1∂v11∇=e+e+erθϕ∂rr∂θrsinθ∂ϕ§1.3标量场的方向导数及梯度(v)2vvvv例1：求标量场fr=xyz在点P(1,2,1)处沿l=ex+ey2+ez2方向的方向导数∂fvvv解：利用方向导数计算公式：=G⋅el=∇fP⋅el∂lPPv⎡⎛v∂v∂v∂⎞⎤⎛v∂fv∂fv∂f⎞QG=∇f=⎢⎜⎜ex+ey+ez⎟⎟f⎥=⎜⎜ex+ey+ez⎟⎟PP⎣⎝∂x∂y∂z⎠⎦⎝∂x∂y∂z⎠PP()vv2v2vvv=e2xyz+exz+exy=e4+e+e2xyzxyzP(1,2,1)vvvvvlex+ey2+ez2v1v2v2又e

5、l=v=vvv=ex+ey+ezle+e2+e2333xyz∂fvv()vvv⎛v1v2v2⎞∴=G⋅el=ex4+ey1+ez2⋅⎜ex+ey+ez⎟∂lP⎝333⎠P12210＝4×+1×+2×=3333§1.3标量场的方向导数及梯度v例2：设平面方程为5x+2y+4z=20,求此平面的单位法向矢量en¾分析：标量场中某点处的梯度矢量在过该点的等值面的法线方向上;将平面方程看成是标量函数f(r)=5x+2y+4z的一个等位面f(r)=20。¾解：vgradfQe=ngradfv∂fv∂fv∂f其中gradf=e+e+exyz∂x∂y∂zvf(r)=5x+2y

6、+4zvvv=e5+e2+e4xyz222gradf=5+2+4=35vvvvgradfex5+ey2+ez4v5v25v45∴e===e+e+enxyzgradf3531515§1.3标量场的方向导数及梯度v例3：求r在圆柱坐标系的梯度，其中r是位置矢量r的大小vevvvz¾解：圆柱坐标系中，位置矢量r=eρ+ezρzv()v22r的大小r构成一个标量场fr=r=ρ+z对应梯度矢量为：vG=gradf=∇f=∇r圆柱坐标系中v∂v∂v∂v∂fv∂fv∂f∇＝eρ+eϕρ+ez=e+eρ+e∂ρ∂ϕ∂zρϕz∂ρ∂ϕ∂zveρ22∂f∂r∂(ρ+z)1()22−

7、1/2ρρ其中：===ρ+z2ρ==∂ρ∂ρ∂ρ22z2rρ+2222∂f∂r∂(ρ+z)∂f∂r∂(ρ+z)z===0===∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂z∂z∂zrvvveρ+ezvρv1vzρzrv∴G=∇r=e+e0+e===eρϕzrrρrrr§1.3标量场的方向导数及梯度∑是一个重要的结论∑且与坐标系无关¾直角坐标系中，vvvvv222r=ex+ey+ezf()r=r=x+y+zxyzv∂rv∂rv∂r∇r=e+e+exxx∂x∂y∂zvxvyvz=e+e+exyz222222222x+y+zx+y+zx+y+zvvvvexx+eyy+ezzrv===erx2+y2

8、+z2rv∇r=er¾球