电磁场与电磁波——chap01 矢量分析e

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1、§1.6场函数的二阶微分运算–具有连续一阶偏导数的场函数都可作一阶微分运算，如梯度、散度、旋度等–具有连续二阶偏导数的场函数都可作二阶微分运算，有多种不同的组合方式•标量场φ→梯度场∇φ为矢量场Æ可作散度或旋度运算∇•∇φ∇×∇φvv•矢量场F→散度场∇⋅F为标量场Æ可作梯度运算v∇(∇⋅F)v→旋度场∇×F为矢量场Æ可作散度或旋度运算v∇⋅(∇×F)v∇×()∇×F∑其中一些二阶微分运算具有重要性质§1.6场函数的二阶微分运算∑(1)标量场的梯度的旋度恒为0∇×∇φ=0–在直角坐标系下证明：⎛v∂v∂v∂⎞⎛v∂φv∂φv∂φ⎞rot(gradφ)=∇×∇φ=⎜⎜e

2、x+ey+ez⎟⎟×⎜⎜ex+ey+ez⎟⎟⎝∂x∂y∂z⎠⎝∂x∂y∂z⎠222222v⎛∂φ∂φ⎞v⎛∂φ∂φ⎞v⎛∂φ∂φ⎞=e⎜−⎟+e⎜−⎟+e⎜−⎟=0x⎜∂y∂z∂y∂z⎟y⎜∂z∂x∂z∂x⎟z⎜∂x∂y∂x∂y⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠–旋度与梯度的定义与坐标系无关，所以上式在其他坐标系下也成立v°任一标量场φ的梯度所构成的矢量场F=∇φ为无旋场；v∇×F=∇×∇φ=0v°反之，无旋场F可表示为一个标量场φ的梯度F=∇φ°标量函数φ称为矢量场F的标量位函数；矢量场F称为有位场或位场；无旋场的标量位函数φ不是唯一的，相差一个常数；vF=−∇(φ+C)=−∇φ§1.

3、6场函数的二阶微分运算v∑(2)矢量场的旋度的散度恒为0∇⋅(∇×A)=0–在直角坐标系下证明：vdiv(rotφ)=∇⋅(∇×A)evevevxyz⎛v∂v∂v∂⎞∂∂∂=⎜e+e+e⎟•=0⎜xyz⎟⎝∂x∂y∂z⎠∂x∂y∂zAAAxyz°无源场可以表示为一个矢量场的旋度；vvv若divB=0，则B=∇×A§1.6场函数的二阶微分运算2∑(3)标量场的拉普拉斯（Laplace）运算∇⋅∇φ=∇φ°标量场的梯度的散度运算称为拉普拉斯运算°∇2＝∇•∇称为标性拉普拉斯算子，读作拉普拉辛(Laplacian)直角坐标系中：2222⎛v∂v∂v∂⎞⎛v∂v∂v∂⎞∂∂∂

4、∇=∇⋅∇=⎜e+e+e⎟⋅⎜e+e+e⎟=++⎜xyz⎟⎜xyz⎟222⎝∂x∂y∂z⎠⎝∂x∂y∂z⎠∂x∂y∂z2222∂∂∂∂圆柱坐标系中：∇=+++2222∂ρρ∂ρρ∂ϕ∂z221∂⎛2∂⎞1∂⎛∂⎞1∂球坐标系中：∇=2⎜r⎟+2⎜sinθ⎟+222r∂r⎝∂r⎠rsinθ∂θ⎝∂θ⎠rsinθ∂ϕ§1.6场函数的二阶微分运算∑(4)矢量场的拉普拉斯（Laplace）运算°矢量场散度的梯度减去旋度的旋度即矢量场的Laplace运算vvv2()∇A=∇∇⋅A−∇×∇×A°∇2称为矢性拉普拉斯算子,与标性拉普拉斯算符写法相同，但本质完全不同，运算也不同，作用

5、的对象不同，⎛v∂v∂v∂⎞°直角坐标系中：∇=⎜⎜ex+ey+ez⎟⎟⎝∂x∂y∂z⎠vvvv22222222∂f∂f∂f∇A=e∇A+e∇A+e∇A∇f=++xxyyzz222∂x∂y∂z矢性Laplace算符标性Laplace算符§1.6场函数的二阶微分运算)1(∇×(∇φ)=0无旋场梯度gradφ=∇φv2标量场φG矢量)2(∇⋅(∇φ)=∇φ标性拉普拉斯算符v)3(∇⋅(∇×A)=0无源场v旋度∇×A为矢量vv矢量场A∇×(∇×A)vr散度∇⋅A为标量∇(∇⋅A)vvv2())4(∇A=∇∇⋅A−∇×∇×A矢性拉普拉斯算符§1.7亥姆霍兹定理（Helmhol

6、tzTheorem）¾1、定理：v°若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，v而场源分布在有限空间，则矢量场vF由其散度和旋度唯一v地确定；且此矢量场F可表示为一个无旋场（F=−∇ϕ）vv1和一个无源场（F=∇×A）之和，即2vvvvF=F+F=−∇ϕ+∇×A12°矢量场的散度和旋度满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形式，决定了矢量场的基本性质–散度表示场中某点的通量体密度，是通量源强度的量度–旋度表示场中某点的最大环量面密度，是漩涡源强度的量度°在不连续突出的一些表面，常只能用其通量和环量满足的积分形式的矢量场基本方程进行分析；§1.8亥姆霍兹定理（He

7、lmholzTheorem）¾2、几个场的名称和性质∑根据矢量场的散度和旋度值是否为0分类：°(1)调和场：vv在某区域内处处有∇⋅F=0且∇×F=0*不存在整个空间散度和旋度处处为0的矢量场°(2)有源、无旋场/保守场：vv∇⋅F≠0=ρ且∇×F=0有“通量源”，°(3)有旋/非保守场、无源场：vv∇⋅F≠0=ρ且∇×F=0有“漩涡源”°(4)有源有旋场：vvv∇⋅F≠0=ρ且∇×F≠0=J有“通量源”和“漩涡源”§1.8亥姆霍兹定理（HelmholzTheorem）¾一般的场既有散度又有旋度，这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和