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1、第一章数学基础赛北412-1郎婷婷langtingting@cjlu.edu.cn主要内容1.1矢量代数和矢量函数1.2场、梯度、散度和旋度1.3矢量微分算子*1.4正交曲线坐标系*1.5δ函数1.1矢量代数和矢量函数•标量：只用大小描述的物理量。•矢量：既有大小又有方向的物理量。•矢量的几何表示：一条有方向的线段。hhhh•矢量的代数表示：A=A0A=A0Ahh•矢量的大小或模：A=AA•矢量的单位矢量：hhAA=0矢量的几何表示A•常矢量：大小和方向都保持不变的矢量•注意：单位矢量和常矢量的区分分矢量h•在直角坐标系中，将
2、矢量A分解：hhhhA=exAx+eyAy+ezAzzA=AcosαAzdxAAy=AcosβγβAαyA=AcosγzAOyx(cosα,cosβ,cosγ)•方向余弦222xA=++AAAxyzhhhhA=A(ecosα+ecosβ+ecosγ)xyzhhhhA=ecosα+ecosβ+ecosγ0xyz矢量的加减运算ddddBAdA+BdddA−BBd−BA矢量的加法矢量的减法•在直角坐标系下，两矢量的加法和减法：hhhhhA±B=e(A±B)+e(A±B)+e(A±B)xxxyyyzzz•矢量的加减符合交换律和结合律：
3、hhhh•交换律：A+B=B+Ahhhhhhhhh•结合律：A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)矢量具有平移不变性矢量的乘法hhhh•标量乘矢量A=AA=AA00dhhhhBθdmA=emA+emA+emAAxxyyzzdd矢量A与B的夹角•两矢量的标量积（点乘）hhA⋅B=ABcosθ=AB+AB+ABxxyyzzhhhh•交换律：A⋅B=B⋅Ahhhhhhh•分配律：(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C两种特殊情况下的点乘hhA⋅B=ABcosθ•两矢量垂直：hhhhA⊥BA⋅B=0•两矢量平行：hhhhA//BA⋅B=A
4、Bhhhhhhe⋅e=e⋅e=e⋅e=0xyyzzxhhhhhhe⋅e=e⋅e=e⋅e=1xxyyzz两矢量的矢量积（叉乘）•直角坐标系下用行列式表示：hhheeexyzhhA×B=AAAxyzBBBxyzhhh=e(AB−AB)+e(AB−AB)+e(AB−AB)xyzzyyzxxzzxyyxhhhhhhA×B=ABsinθ•两矢量垂直：A⊥BA×B=ABddhhhhA×B•两矢量平行：A//BA×B=0hhhhd•交换形式：A×B=−B×ABABsinθhhhhhhhθd•分配律：(A+B)×C=A×C+B×CAdd矢量A
5、与B的叉乘标量函数与矢量函数•标量函数：具有确定数值的标量，是空间坐标和时间的函数。f(x,y,z;t)•矢量函数：hhhhF(x,y,z;t)=eF(x,y,z;t)+eF(x,y,z;t)+eF(x,y,z;t)xxyyzz•函数的物理状态与时间无关：静态场•时间的函数：动态场或时变场。•矢量和矢量场的不变性，与所选坐标系无关。•矢量函数对时间和空间坐标变量的微分仍是矢量。1.2场、梯度、散度和旋度•场：确定的空间区域上的每一点都有确定的物理量与之对应，则称在该区域上定义了一个场。h•标量场：u=u(r)hhhhr=ex+
6、ey+ez•场点：xyz•Q:如何知道标量场中各点沿各个方向的变化情况？标量场的等值面•等值面：标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。•等值面方程：f(x,y,z)=C•常数C取一系列不同的值，就得标量场的等值线(面)到一系列不同的等值面，形成等值面族。f=c1•等值面充满整个空间。f=c2f=c3•等值面互不相交。等值面族举例温度场中的等温面引力场中的等势面静电场中的等位面气象图中的等压线地形图中的等高线标量场的方向导数•定义u在M点沿l的方向导数为0M∂uu(M)−u(M)Δu0=lim=limM0∂lM0M→M0MM0
7、ρ→0ρ•方向导数描述标量场u在M点沿l的变化率。0∂u>0标量场u沿l方向增加∂l∂u<0标量场u沿l方向减小∂l∂u=0标量场u沿l方向无变化∂l方向导数的计算公式•标量场u=u(x,y,z)在M点可微，方向导数在直角坐0标系下可表示为∂u∂u∂u∂u=cosα+cosβ+cosγ∂l∂x∂y∂zM0•它是标量场的场函数u对三个坐标轴的偏导数分别与l的方向余弦的乘积之和，解决了标量场在给定点沿某个方向的变化率问题。•Q：沿哪个方向变化率最大？最大变化率是多少？梯度的定义•在标量场u中定义一个矢量G：hh∂uh∂uh∂uG=
8、e+e+exyz∂x∂y∂zhhhhe=cosαe+cosβe+cosγe•记沿l方向的单位矢量为lxyz∂u∂u∂u∂uhh•则=cosα+cosβ+cosγ=G⋅e=Gcosθl∂l∂x∂y∂zM0•矢量G称为标量场u的梯度。h∂h∂h∂∇=e+e+exyz∂x∂y∂zh
