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1、高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于卜七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿(Newton)和徳国数学家莱布尼茨(Leibniz)。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果乙一。它处于白然科学与人文科学Z间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今LI,它对工程技术的重要性就像望远镜Z于天文学，显微镜Z于生物学一样。笫1讲函数1.2函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。一、常量与变量先看几个例
2、了：圆的面积公式S=nr2自由活体的下落距离12在上述讨论的问题屮，兀」()，g是常量，S,r,s,t是变量。变量可以视为实属集合(不止一个元素)。二、函数的定义定义1・1设D是一个非空数集。如果有一个对应规则/,使得对每一“D,都能对应于唯一的一个数y,则此对应规则/称为定义在集合D上的一个函数，并把数兀与对应的数yZ间的对应关系记为V=/(x)并称无为该函数的自变量，y为函数值或因变量，D为定义域。实数集合Z={y;y=f(x),xED}称为函数/的值域，看看下面几个例了屮哪些是函数:x={1,3,6}Y={2,6,8,9}
3、/是函数，且/(I)=2,/(3)=8,/⑹=6定义域D二{1,3,6},值域Z={2,6,8},一般地ZuY。X={1,3,6,7}Y={2,6,8,9}/不是函数。X={1,3,6}Y={2,6,8,9}/是函数，且/(I)=2,/(3)=8,/(6)=8定义域D={1,3,6},值域Z={2,8}OX={1,3,6}y={2,6,8,9}/不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x轴上的点。例1求函数y=』一
4、x的定义域。解在实数范伟I内要使等式有意义，有l-x>0即X<1所以函数的定义域为(-00,1］。例2求函数y=—+a/4-x2的定义域。1-x解在实数范围内要使第一个等式有意义，有1-x0即"1在实数范围内要使第二个等式有意义，有4-x2>0或%2<4所以函数的定义域为［一2,1)U(1,2］°%1.函数表示法函数表示法主要有以下三种1・解析法用数学式了表示变星之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如y-x2y=sinx+x-xx<0x>02•图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这
5、种表示函数的方法称为图形法。例如02468086421表示一天内温度随时间变化的函数关系。3•列表法在实际M用屮把一系列门变暈值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。四、函数的几种属性1・单调性请看下面两个图左边的图形表示，函数值随变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的,x2g(a,b)H%)＜x2时，恒有则称函数/(对在区间(d,h)内是单调上升的或单调增加的。右边的图形表示，函数值随口变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的,x2g
6、(a,b)且兀］＜尤2吋，恒有/（%；）＞/（x2）则称函数/(x)在区间(d,6内是单调下降的或单调减少的。2•奇偶性请看下而两个图左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数y=/(朗的定义域D以原点为对称，且恒满足等式/(-x)=f(x),则称/⑴是偶函数。右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学丄描述为：如果函数y=.f⑴的定义域D以原点为对称，且恒满足等式/(-x)=-/(%),则称/(%)是奇函数。例3判断下列函数的奇偶性：[—无(1)/0)=X;⑵/(X)=lg―一XG(-1,1)
7、1+X解⑴由绝对值的性质，对任意兀有/(一兀)=-X=兀=/(X)由此可知/⑴是偶函数。(2)由对数函数的性质,对任意工€(—1,1)有/（一X）=lg1_（_x）1+（一切+X由此可知/(X)是奇函数。判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如，y=x+sinA：是奇函数，y=xcosx也是奇函数。1.3初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基木初等函数，它们是1•常数函数y二c
8、cwR常数函数的图形如下2•幕函数v=awR幕函数的图形如下y3•指数函数y=axa>O,dHl指数函数的图形如下y二=10”O4•对数函数y=ogaxd>O,dHl对数函数的图形如下5•三角函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx余切
