对微元的讨论和用留数法解双边

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1、对微元的讨论和用留数法解双边Laplace逆变换，Z逆变换的讨论。1作者：梁昊、刘翱（一）对微元的探讨在对曲线的研究过程中，探讨计算最多的是曲线的弧长和曲线围成的面积，在极坐标条2'21件下弧长微元dl=+r()θr()θθd，根据面积公式sl=r可得：21112'21ds=+=rdlldrrr()θθ+r()dl+ldr①，而实际我们常用的面积公式为222212ds=r()θdθ②。2对比①②我们显然可以看出他们的差别是dr是否为0，也就是说在计算弧长时取微元dr≠0，而计算曲线围成的面积时dr=0。yrrdr+xyrrdr+x下面我们分别利用二者进行曲

2、线弧长和曲线围成面积进行计算对于弧长弧长的定义为：1本文受SRTP项目资助，作者是二系2007级学生，指导教师孙玉泉n

3、MM

4、,∑i−1ii=1用“化曲线为斜线”的微元算：根据拉格朗日中值定理，所以，=≤＜所以＜=用“化曲线为直线”的微元算n=∑

5、y(ti)−y(ti−1)

6、i=1=＞C(C为常数)关于面积：用“化曲线为斜线”的微元计算面积：用“化曲线为直线”的微元计算面积：＜由上可知，用“画曲线为斜线”的微元可以计算曲线围成的面积和曲线的长度，而用化“曲线为直线”的微元只计算面积，所以化“曲线为斜线”的微元比化“曲线为直线”的微元更能反映曲线的基本性质。

7、在我们的大学微积分教育中很少有关于微元与微元之间的讨论，即在不同条件下为什么会取不同的微元。不同微元到底对曲线的逼近程度有什么关系，所以这应该算是大学微积分教程中缺失的一块。在二维研究曲线的条件下，“化曲为斜”比“化曲为直”更具有广泛的意义，因此在教学过程中最好加入对两种微元的比较环节。（二）用留数去解双边Laplace逆变换及Z逆变换（1）对双边Z逆变换的讨论1`n−1对于x()()nun的情况，收敛域za>，易知x()nx=∫()zzdz，2πjc1n−1由留数定理可知xn()=∑Re(()sxzz)zz=mmjIm(z)aRe(z)0C1对于xnu

8、n()(−−1)的情况，收敛域zb

9、c之外极点留数之和的相反数，即2n−1xn()−=−∑Re(())sxzzzz=mmn−1对比xn()=∑Re(()sxzz)zz=mm我们可以得到，如果两个序列有相同的Z变换，但有不同的收敛域且一个序列正序列x()()nun，则另一个为−−xnun()(−1)即x()()nun⇔xz()−−x()(nun−1)⇔xz()（2）对于双边Laplace逆变换的讨论nst由于Z平面域可映射至S平面，所以性质也是相通的。即ft()=∑Re((),)(sFsestk>0)k=1nstft()−=−∑Re((),)(0)sFsestk>k=1也有两个函数有相同Lap

10、lace变换而有不同收敛域且一个序列为f()()tut则另一个为−−f()()tut的性质即f()()tut⇔Fs()−−f()()tut⇔Fs()在大学课程教育中对求解双边Laplace逆变换和双边Z逆变换多采用部分分式法，而对用留数法求解使用的不多。然而利用留数法求解两种变换的逆变换有很多比部分分式法更多的优点：m∏()zb−jj=11、得到的Fs()，Hz()=不用分解因式，而可直接求解逆变换。例如n∏()za−ii=1zHz()=(:2ROCz>)(1zz−−)(2)n可直接由留数法得到x()(12)()nu=+nHz()AA12而不用化成=+的形

11、式求解zzz−−122、需要使用的Fs()，Hz()形式上更容易看出零、极点，也更符合人们的书写习惯，如对21z比与利用后者更容易求出留数−−11(zz−−1)(0.5)(zz−−1)(0.51)z3、求解双边Laplace、Z逆变换，留数法方便、好用，如Hz()=(1zz−−)(2)n(:ROC12<