对一类定点(值)问题结论的修正和补充

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1、54数学通报2013年第52卷第8期对一类定点(值)问题结论的修正和补充施开明(江苏省苏州第十中学215006)文[1]从一道课本习题出发，通过探究，得到直线(如图1)．一系列结论，并最终统一为：过二次曲线A+Cy+Dx+Ey+F一0(A。+C。≠O)上一点P(x。，。／Y。)的两条直线与曲线交于A、B两点，满足忌PA·一／一keu—t(t≠0)，则直线AB过定点(坐标略)．笔者、＼＼读后发现，由于作者的疏忽，文中的推广结论4的}x证明存在瑕疵，以致结论4、5、6、7存在缺陷，需要修正．同时，笔者对各

2、结论进行了逆向探究，均得到相应结沦．图11对有关结论及证明的修正22一．．原文结论4为：过椭圆+一1(口>6>o)ⅡoV＼P＼上一点P(x。，Y。)的两条直线与椭圆交于A、B两／，。，点，kPA·愚邢一t，则直线AB过定点，／一，(ta+b)·z0(一6一ta。)·Y0＼＼tan_一b。’ta一b／‘．文中应用平移变换及常数“1”代换，使得结论＼的证明变得轻松简洁；但笔者发现，证明过程中明圈2显有两处值得商榷，本质上都是忽略了分母可能为零的情形。首先，在证明过程中所假设的平移为探究方便，不妨假设点P(

3、z。，Y。)在第一象变换后的直线AB的斜率不一定存在．比如，当点限，先考虑极端情况：让A，B无限接近，当A、BL2重合于D(或E)点时，直线AB的斜率即为椭圆P为椭圆短轴的端点而t：：=时，直线AB的斜率“●}在点D(或E)处切线的斜率，此时kpD一旦，：就不存在．其次，由·一t解出m的过程Z^B一(如图2)．中，事实上首先应得(b一ta)m一2aty。+2b。X。足，须再对b一ta是否为零进行讨论．-byo_设D(，)，则Yl__一一一zn原作者通过几何画板演示，得到：若确定t：。(1)，又等+2．

4、12时，直线过定点．改变t的值也有相同的结：，等+=，论．事实上，通过演示我们会发现，当t的取值与厶2(3)一(2)变形，得+·越来越接近时，直线所过的定点距原点越来越“厶2Yl-Yo—o——所以垫+一o远，而当一时，直线不再过定点，而是一束平行，(4)Z1一ZO口02013年第52卷第8期数学通报55由(1)、(4)解得一一a3，。，一一bz。，所(2)若￡一，z。≠o，则m．Tco=ny。，显然n≠0，所以k舢=一丝=一；以椭圆在点D(xl,y1)处切线斜率为一蚤一Yo一(3)若￡≠，则有2mb。

5、zo一2tna。Yo一ta一，0因为是PD·是PE一(＼鱼a)／(＼～鱼a1／一一ba2。，所以nD，E两点关于原点对称，椭圆在点E处的斜率亦52即一，为一，由此同样得出直线AB应为平行直线而不与AB方程为mx+ny一1比较得可能过一定点．综合上述分析，原结论应修正为：f，．2bX0ta+bzIzz十o—taZ_—b~十zo—taz-—b~’．To结论1过椭圆X2十2—1(n>6>。)~-Aly+yo一一·yoP(X。，．y。)的两条直线与椭圆交于A、B两点，kpA·是P月一t，则即直线过定点(，二皇

6、)．(1)若=b2，z。=0，则直线AB的斜率不类似的，对推广结论5、6、7中有心圆锥曲线的结论可统一修正．为方便不妨设曲线方程为存在Ax+By=1(AB≠0)，用同样的方法不难证明(2)若￡一52，z。≠o，则是彻一一yo；下列一般性结论：结论2过有心二次曲线Ax+By一1(AB(3)若￡≠52，则直线AB过定点≠O)上一点P(x。，Y。)的两条直线与曲线交于A、(ta+6)·0(-ta-b。)·YoB两点，满足尼·志PB—t(t为常数)，则—一’——～(1)若￡一詈，则直线AB的方向确定，其方证明

7、作平移变换I，z—z(，，则椭圆方程向向量为(。，一y。)；l—Y—yo(2)若￡≠，则直线AB过定点为+(tB+A)·zo(一B—A)·y0因为点P(x。，。)在椭圆上，于是椭圆方程可—一’——一化简为bz+2b。zoo32+口+2a。YoY一0．如果把平行直线也看成相交直线(交于无穷设直线AB方程为mx+ny一l，代人上述远点)，则结论2中(1)、(2)又是一致的，从而可得方程。得如下更和谐的结论：6。。+a2Y+(2b。032+2ay0y)(mx+过有心二次曲线A+By。一1(AB≠O)上一ny

8、)一0，整理得点P(x。，。)的两条直线与曲线交于A、B两点，(6。+2mbzo)z+(口。+2na。Yo)Y。+满足忌·愚一t(￡为常数)，则直线AB必过直(2ma。+2rib0)y一O，即^线y。x+x。===0上一定点．其中￡≠时，过平常(口+2n。)()+(2m口+2n6z。)点(，)；t一含时，则f、31"1／+6z+2mb~。=0，因此过无穷远点．b。+2mbzn一．2一点补充以+2na。Y0’通过逆向探究，可得到下面的结论：(1)若=箬，。