《线性代数》PPT课件(I)

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1、3.4空间直线一、点向式方程二、参数式方程三、一般式方程四、直线与直线的位置关系五、直线与平面的位置关系返回方向向量的定义：//一、点向式方程3.4空间直线如果一非零向量平行于一条已知直线L，向量称为直线L的方向向量．直线的点向式方程直线的一组方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.例1求过空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的直线方程.解s=AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),例2说明：即，l在平面y=2上.解所以交点为取所求直线方程=（2，0，4）二、参数式方程设直线l的方程则上式称为直线l的参数方程，t称为

2、参数，不同的t对应于直线l上不同的点.例4设l过M(3,4,-4),为求l的方程.解取解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般式方程三、一般式方程例6用点向式方程及参数方程表示直线解一在直线上任取一点M0取解得M0点的坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取点向式方程参数方程解二由解法一已得直线上点M0的坐标(1,0,-2),取x1=0,则取直线的方向向量为=(4,-1,-3),得直线方程为解三由直线方程(1)+(2):3

3、x+4z+5=0(1)2-(2):3y-z-2=0z=3y-2方程(3)的方向向量(-4,1,3)与(4,-1,-3)平行，且点在解法一、二所确定的直线上，故方程(3)与解法一、二所得的方程表示的为同一直线.解四(用高斯消元法——行初等变换)参数式：点向式：例7确定直线l外一点M0(x0,y0,z0)到l的距离.设M1(x1,y1,z1)是直线l上任意一确定的点，M是l上另一点，且M1M=s=(m,n,p),则直线l的方程为如图所示平行四边形面积S=

4、

5、M1M0M1M

6、

7、=

8、

9、sM1M0

10、

11、=d

12、

13、s

14、

15、dMM1M0l例8求点M0(1,2

16、,1)到直线的距离.解取z=0,得x=1,y=1,M1(1,-1,0)l.M1M0=(0,3,1).直线直线由此公式可计算两条直线的夹角.1.两直线的夹角四.直线与直线的位置关系两直线L1与L2的方向向量与的夹角（通常指锐角）称为L1与L2的夹角，记为.2.两直线的位置关系：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例10判直线的位置关系？解①②直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．五、直线与平面的位置关系1、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式2.直线与平面的位置关系：//解为所求夹角

17、．解例12判l:与π:x+4y–z–1=0的位置关系.若相交，则求出交点与夹角.所以l与π相交.代入π,得所以l与π交点例13直线l过点M(2,5,-2)且与直线垂直相交，求l的方程.解只需求出交点N的坐标即可.过M作平面与l1垂直，与l1的交点即N.l1的方向向量NMll1过M(2,5,-2)且与l垂直的平面:-9(x-2)+5(y-5)+7(z+2)=0.9x-5y-7z-7=0.将直线l1与的方程联立：解得：x=1,y=-1,z=1.这就是l1与的交点N的坐标(1,-1,1).直线l的方向向量s=MN=(-1,-6,3).l的

18、方程3.平面束设直线l的方程是(1)(2)除方程(2)所表示的平面外，经过直线l的所有平面都可由下式表示：经过直线l的平面全体称为过l的平面束.方程(3)称为过直线l的平面束方程.例14求直线在平面：2x+2y+z-11=0上的投影直线.解1过直线l作一平面’与垂直，则’与的交线l’就是l在上的投影.将l的方程改写为一般式过l的平面束方程为x+4y-24+(3y+z-17)=0即x+(4+3)y+z-(24+17)=0其法向量为n’=(1,4+3,),由’可得’的方程为即7x-2y-10z+2=0直线l在上的投

19、影为解2作过l且与垂直的’.则l上的点M(4,5,2)在’上.取即所以l在上的投影直线为