数学人教版九年级上册二次函数的应用-面积最大问题

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1、22.3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1.经历数学建模的基本过程,能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米.当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.二、合作探究探究点:最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周

2、长为60米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?解析:利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为x,则另一边长为,从而表示出面积;(2)利用配方法求出顶点坐标.解:(1)根据题意,得S=·x=-x2+30x.自变量x的取值范围是0<x<30.(2)S=-x2+30x=-(x-15)2+225,∵a=-1<0,∴S有最大值,即当x=15(米)时,S最大值=225平方米.

3、方法总结:二次函数与日常生活的例子还有很多,体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息,建立实际问题中变量间的二次函数关系.【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米.(1)求y关于x的函数关系式;(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.解析:(1)先表示出矩形的另一边长,再利用矩形

4、的面积公式表示出函数关系式;(2)已知矩形的面积,可以转化为解一元二次方程;(3)求出y的最大值,与70比较大小,即可作出判断.解:(1)y=x(16-x)=-x2+16x(0<x<16);(2)当y=60时,-x2+16x=60,解得x1=10,x2=6.所以当x=10或6时,围成的养鸡场的面积为60平方米;(3)方法一:当y=70时,-x2+16x=70,整理得:x2-16x+70=0,由于Δ=256-280=-24<0,因此此方程无实数根,所以不能围成面积为70平方米的养鸡场.方法二:y=-x2+16x=-(x-8)2+6

5、4,当x=8时,y有最大值64,即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米,所以不能围成70平方米的养鸡场.方法总结:与面积有关的函数与方程问题,可通过面积公式列出函数关系式或方程.【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求出这条抛物线的函数关系式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A、D点在抛物线上,B、C点在地面OM上.为了筹备材料,需求

6、出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下.解:(1)M(12,0),P(6,6).(2)设这条抛物线的函数关系式为y=a(x-6)2+6,因为抛物线过O(0,0),所以a(0-6)2+6=0,解得,a=-,所以这条抛物线的函数关系式为:y=-(x-6)2+6,即y=-x2+2x.(3)设OB=m米,则点A的坐标为(m,-m2+2m),所以AB=DC=-m2+2m.根据抛物线的轴对称,可得OB=CM=m,所以BC=12-2m,即AD=12-2m,所以l=AB+AD+DC=-m2+2m+12

7、-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-(m-3)2+15.所以当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和l的最大值为15米.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,引导学生设计有助于学生设计表格,经历计算、观察、分析、比较的过程,直观地看出变化情况.

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