数学人教版九年级上册二次函数概念图像性质综合运用

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1、二次函数的概念描述·一般的，形如 y=ax2+bx+c（a，b，c 常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．例题判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么．（1）y=2x2+xz+1；（2）y=mx2（m 是常数）；（3）y=(3x+2)(4x−3)−12x2；（4）y=ax2+bx+c；（5）y=x2+5/x2+1．解：（1）不是，函数中有两个自变量 x，z；（2）不是，m 有可能是 0；（3）不是，函数化简得 y=−x−6，是一次函数；（4）不是，a 有可能是 0；（5）不是，它不是关于自变量的整式．若函数 y=(m2+m)xm2−m 是二次

2、函数，求 m 的值．分析：根据二次函数的概念可知，m 要满足 m2+m≠0 和 m2−m=2．解：由二次函数的定义可知 {m2+m≠0,⋯m2−m=2,⋯①② 解①得 m≠0 且 m≠−1，解②得 m=2 或 m=−1，所以 m=2．二次函数的图象与性质描述 y=ax2（a≠0 ）的图象与性质 y=a(x−h)2+k（a≠0 ）的图象与性质 y=ax2+bx+c（a 、 b 、 c 是常数，a≠0 ）的图象与性质区间最值函数 y=ax2+bx+c（a>0）在 m

3、例题（1）函数 y=−2x2，对于一切 x 的值，总有函数值 y−−−−0；当 x<0 时，y 随 x 的增大而 −−−−；当 x−−−− 时，y 有最 −−−− 值，是 −−−−；（2）函数 y=−x2+1，当 x−−−− 时，y 随 x 的增大而减小；当 x−−−− 时，函数y 有最大值，最大值是 −−−−；其图象与 y 轴的交点坐标是 −−−−；（3）函数 y=−12(x−1)2 的图象的对称轴是 −−−−；当 x−−−− 时，y 随 x 的增大而减小；当 x−−−− 时，y 有最大值，最大值是 −−−−；（4）函数 y=−12(x−1)2+2

4、 的图象，当 x−−−− 时，y 随 x 的增大而增大；当 x−−−− 时，函数 y 有最 −−−− 值，最 −−−− 值是 y−−−−；（5）函数 y=x2+2x+3 的图象的对称轴是 −−−−；顶点坐标是 −−−−．解：（1）⩽，增大，=0，大，0；（2）>0，=0，1，(0,1)；（3）x=1，x>1，=1，0；（4）<1，=1，大，大，=2；（5）x=−1，(−1,2)．巩固训练1、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：① a+b+c<0；② a−b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0．其中所有正确结

5、论的序号是（ ）A．③④  B．②③  C．①④  D．①②③2、已知 a<−1，点 (a−1,y1)，(a,y2)，(a+1,y3) 都在函数 y=x2 的图象上，则（ ）A．y1

6、）A．2  B．23  C．-11  D．-15 二次函数的图象变换描述·平移·“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 x 进行加减．·对称·旋转函数图象旋转可以看成先把原图象上的点（通常我们选择顶点）绕着旋转中心旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．例题（1）将二次函数 y=x2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 −−−−．（2）如果保持抛物线 y=2x2 的图象不动，把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 −−−−．

7、（2）把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2 个单位，就相当于把函数分别向下、向左平移 2 个单位．将二次函数 y=x2−2x−1 的图象绕坐标原点 O 旋转 180∘，则旋转后的图象对应的解析式为 −−−−．（1）抛物线 y=x2−2x−3 关于 x 轴对称的图象为 −−−−．（2）在平面直角坐标系中，先将抛物线 y=x2+x−2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 −−−−．（3）将抛物线 y=x2−2x+1 的图象绕它的顶点 A 旋转 180∘，则旋转后的抛物线的函数

8、关系式为 −−−−．二次函数的三种形式及解析式的确定描述·设一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）若已知条件