中考数学大题狂做系列

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1、中考数学大题狂做系列专题8：与圆的证明和计算有关的解答题圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要记住弧长公式和扇形面积公式．而几何计算中以圆为背景，此类问题大部分是多问，前面的问题以简单的证明为主，而证明大多为后面的计算作铺垫。解决中常用的方法有：勾股定理，相似三角形，三角函数及特殊的三角形，同时涉及圆周角、垂径定理、圆的切线等。解题中常常用勾股定理作为列方程的依据。相似三角形主要用来得到比例式，再演化成方程。三角函数主要应用于直角三角

2、形中，往往与勾股定理和比例配合使用。因此，面对此类问题时，要充分利用已知条件，把能直接计算出的线段全部算出，通过设元把能表示的线段用含未知数的式子表示出来，然后再利用勾股定理、相似比例列出方程；或直接用勾股定理、相似比例、三角函数计算即可。与圆有关性质的证明和计算如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30°,点D为弧AB的中点,AC=4.求CD的长．【解答】解：作AE⊥CD于E，连接BD，∵点D为弧AB的中点，∴∠ACD=45°，∴AE=CE=AC×=2，由圆周角定理得，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，∴∠ADC=60°，∴DE==，∴CD=DE+CE=+

3、2．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，=，求⊙O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）根据（1）中的结论，再根据锐角三角函数和三角形相似的知识即可求出圆

4、的半径长．【解答】（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，∴BF=BD；（2）解：设OA=3x，则AB=5x，BO=2x，∴BD=4x，∵CF=1，BD=BF，∴BC=4x﹣1，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴，∵=，∴，即，解得，x=1.5，∴2x=3，即⊙O的半径是3．圆的切线的性质与判定3．如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当点E为弧AD的中点且∠B

5、ED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴∠A+∠DBA=90°∵Error!Nobookmarknamegiven.弧BD=弧BDError!Nobookmarknamegiven.Error!Nobookmarknamegiven.∴∠A=∠E∵∠CBD=∠E，∴∠CBD=∠A…∴∠CBD+∠DBA=90°∴AB⊥BC∴BC是⊙O的切线…（2）解：∵∠BED=30°∴∠A=∠E=∠CBD=30°∴∠DBA=60°…∵点E为弧AD的中点∴∠EBD=∠EBA=30°∵⊙O半径为2∴AB=4，BD=2，AD=在RTΔBDF中

6、，∠DBF=90°，∴DF4．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．【解答】解：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣3

7、0°=30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=．圆与相似及三角函数的综合5．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【解答】（1）证明：连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PA