线性规划的灵敏度分析

《线性规划的灵敏度分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章线性规划的灵敏度分析灵敏度分析是研究当一个线性规划问题中的系数发生变化时，其对函数最优解的影响程度。运用灵敏度分析，我们可以回答一下问题：1.如果目标函数的系数发生了变化，对最优解会产生什么影响？2.如果改变约束条件的右端值，对最优解会产生什么影响？因为灵敏度分析研究的是系数的变化对最优解的影响，所以在进行灵敏度分析之前首先要计算出原线性规划问题的最优解。因此，灵敏度分析有时也被称为后优化分析（postoptimalityanalysis）。我们研究灵敏度分析的方法与第2章中研究线性规划问题

2、的方法相同。首先，我们将介绍如何使用图解法进行双变量线性规划问题的灵敏度分析。灵敏度分析及最优方案的解释是运用线性规划问题的重要因素。3.1灵敏度分析简介灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻，在真实世界里，周围的环境、条件是在不断变化的。原材料的成本在变，产品的需求在变，公司购买新设备、股票价格波动、员工流动等等这些都在不断发生。如果我们要用线性规划模型去解决实际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。这些系数的变化会对模型的最优解产生什么样的影响呢？运用灵敏度分析，我们只需改变相应的系数就可以

3、得到答案，而不需建立新的模型。回忆Par公司的问题：我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产540个，高级袋生产252个，这个最优解的前提是每个标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是9美元。假设，我们得知由于价格的下降，标准袋的利润由10美元降到8.5美元。这时我们可以用灵敏度分析来确定标准袋生产540个，高级袋生产252个是否还是最优解。如果还是，则不必建立新的模型求解了。灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果通过灵敏度

4、分析得到，当高级袋的利润在6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这个估计量的可信程度有多大了。管理层希望知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎样变化。灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值变化对最优解的影响。还是以Par公司为例，在最优产量的情况下，切割与印染部和成型部的工作时间已经被占用了。如果现在公司增加了这两个部门的生产能力，那么最优解以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵敏度分析可以帮助确定每一

5、个工时的边际价值，以及在利润下降之前部门工时的最大增加量。3.2图解法灵敏度分析对于双变量的线性规划问题，当目标函数的系数或约束条件的右端值变化时，用图解法可以对其进行灵敏度分析。3.2.1目标函数系数让我们思考一下目标函数的系数变化会对Par公司的最优产量产生什么样的影响。选择每个标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是9美元。很明显，如果其中一种袋子的利润下降，公司就会削减其产量；如果利润上升，公司就会增加其产量。但问题是，究竟利润变化多少时，管理者才应该改变产量呢？现在，模型的最优解是54

6、0个标准袋和252个高级袋。每个目标函数系数都有一个最优范围，即目标函数系数在什么范围内变化时，模型的最优解保持不变。我们应该注意那些系数的最优范围比较小，或者系数刚好靠近最优范围边界的情况。在这种情况下，这些系数的微小变动就有可能使最优解发生改变。下面，我们用图解法来求解Par公司的最有范围。200400600800200400600oSD可行域10S+9D=7668图3-1直线A(7/10)S+D=630直线BS+(2/3)D=708③在图3-1中，我们可以看到只要直线B的斜率≤目标函数直线的

7、斜率≤直线A的斜率则最优解不变.容易计算直线A和直线B的斜率，我们来看一看若想保持极点③仍然为最优解点，应满足的条件：（3-1）因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满足下列条件，极点③就仍然是最优解点：现在让我们考虑目标函数直线斜率的一般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这些标识，目标函数直线可以写成：P＝CSS＋CDD把上面方程写成斜截式，得到：CDD＝﹣CSS＋P以及从左边的不等式，我们得到（3-2）为

8、了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2），我们得到：因此综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优范围为：6.3≤CS≤13.5从右边的不等式，我们得到因此，在最初Par公司的问题中，标准袋的利润是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得注意的是，即使产量不变，总的利润也