线面平行面面平行二面角

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1、习题精选精讲线面平行　　【直线与平面平行的判定】　　定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。　　【判断直线与平面平行的方法】　　（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；　　（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；　　（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。　　【平面与直线平行的性质】　　定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。　　此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。　　注意：直线

2、与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）1.已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，∵∥平面，∥平面，∴∥，∥，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面，又平面，平面∩平面=，∴∥，又∵∥，所以，∥．2．已知：空间四边形中，分别是的

3、中点，求证：．证明：连结，在中，∵分别是的中点，∴，，，∴．3、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=4，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.（I）求证：AF//平面PEC；习题精选精讲．解：（I）如图，设PC中点为G，连结FG，则FG//CD//AE，且FG=CD=AE，∴四边形AEGF是平行四边形∴AF//EG，又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF//平面PEC4正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB

4、，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN,∴,.∴.∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.∵AD∥BC,∴.又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，∴.则PQ∥EK.∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ

5、∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图2.（I）求证：AP∥平面EFG；解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2.（I）∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.∴EF∥CD，EG∥PB.又CD

6、∥AB∴EF∥AB，PB∩AB=B，∴平面EFG∥平面PAB.∴PA∥平面EFG.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ..证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.习题精选精讲∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1

7、、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴EF∥B1D1.∴EF∥BD.∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵PQ∥AO,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN