第三节：函数的单调性与最值

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1、第三节函数的单调性与最值【知识结构完形】知识结构知识体系内容体系考试说明：（1）理解函数的最大值、最小值及其几何意义，会求一些简单函数的值域．（2）理解函数的单调性，掌握单调函数的定义判别法，能利用函数单调性定义判断、证明函数在某一区间的单调性．1．增函数、减函数：设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间：如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在

2、这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间．3．利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：①取②作差变形（通常因式分解和配方）③定号；④结论。4．判断函数单调性的常见方法：①定义法②图像法③两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）的是增（减）函数④奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性⑤利用导数研究函数的单调性⑥复合函数利用同增异减法．5．一些重要函数的单调性：①的单调性：增区间：；减区间：②减区间：6．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值

3、，即图像的最高点或最低点7．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值并非是函数的最值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值。8．求函数最值或值域的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.⑦导数法．单调性与最值函数最值的定义一些常见求法单调性最值函数单调性的定义证明单调性的步骤判定方法【复习指导】1．近几年的高考考查情况（1）从全国高考试题来看，值域与最值和函数的单调性是高考考查的重点，每年都有考查，或直接考查，或以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，题型多以选

4、择题和填空题为主，有时也作为大题的一问或在解题中用到．（2）观察近几年山东高考试题，函数的值域与最值没有单独命题，只是融合在其它知识中来考查；函数的单调性主要与函数的奇偶性、周期性结合起来作为选择填空题考查，大题主要考查利用导数研究函数的单调性．2．复习指导本节用1课时，重点掌握的内容是函数值域与最值的一些常见的求法和函数单调性的概念与判断方法．（1）对于最值与值域问题，关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法，根据题目特点，灵活运用；函数的值域问题常常转化为求函数的最值问题，要注意利用基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用，求函

5、数值域，不但要重视对应关系的作用，而且要特别注意定义域的限制作用．（2）函数的单调性是函数的一个重要性质，理解函数单调性的定义要抓住两点：在区间上和取值的任意性，故讨论函数的单调性必须在函数的定义内进行．【直击训练】一、基础题过关1．（文理）函数上的最大值和最小值之和为则实数a可能取值为（）A．B．或2C．2或D．2A解析：由于函数上是单调函数，所以，即选A2．（文理）设是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又，那么一定是()A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C．偶函数，且在(-∞，+∞

6、)上是增函数D．偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数A解析：为奇函数，为增函数3．（理）已知定义域为R的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则（）A．B．C．D．D解析：y=f(x+8)为偶函数，即关于直线对称．又f(x)在上为增函数，故在上为减函数，检验知选D4．（文理）已知为R上的增函数，则满足的实数的取值范围是______．（－1，0）（0，1）解析：由已知得解得或0<<1.5．（理）若函数的值域是，则函数的最大值与最小值之差为__________．解析：.令，则，备选题：1．已知函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是，则的值是（　　）A．

7、B．C．1D．C解析：由是偶函数得2．函数的递减区间为（）A.．B．C．D．A解析：3．函数的值域是_________．解析：二、能力培养题型一：求函数值域与最值问题例1：（理）求函数的值域．【解析】法1：定义域，因为所以当时，取最大值，当时取最小值法2：【点评】（1）由函数解析式结构特点，解法1利用平方去根号，转化为二次函数最值问题，注意先求函数的定义域；解法2由，用三角代换去根号，转化为三角最值问题．（2）函数值域也是高考命题的一个热点。解函数值域（或最值）问题，首先要熟练掌握求函数值域的几种常见的基本方法：如配方法、函数单调性法、均值不等

8、式法、判别式法、换元法、三角代换法、分离常数法、导数法、数形结合法等；其次是要根据函数解析式结构特点灵活、合理选择恰当的方法、合理转化最终达到解决问题