积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用

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1、积分变换第6讲1拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件21.线性性质若a,b是常数L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则有L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.32.微分性质若L[f(t)]=F(s),则有L[f'(t)=sF(

2、s)-f(0)(2.3)证根据分部积分公式和拉氏变换公式4推论若L[f(t)]=F(s),则L[f''(t)]=sL[f'(t)]-f'(0)=s{sL[f(t)]-f(0)}-f'(0)=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)...L[f(n)(t)]=sL[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)(2.4)特别,当初值f(0)=f'(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有L[f'(t)]=sF(s),L[f''(t)]=s2F(s),...,L[f(n)(t)]=sn

3、F(s)(2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.5例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=-k2coskt,则L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0).即-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s移项化简得6例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]-sm-1

4、f0)-sm-2f'(0)-...-f(m-1)(0)即L[m!]=smL[tm]7此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质:若L[f(t)]=F(s),则F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)>c.(2.6)和F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)>c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序8例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.93.积分性质若L[f(t)]=F(s)10重复应用(2.8)式,就可得到:11由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若L[f(t)]=F(s),则12例4求函数的拉氏变换

5、.13其中F(s)=L[f(t)].此公式常用来计算某些积分.例如,144.位移性质若L[f(t)]=F(s),则有L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c).(2.12)证根据拉氏变换式,有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,因此L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c)15例5求L[eattm].例6求L[e-atsinkt]165.延迟性质若L[f(t)]=F(s),又t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t0,有L[f(t-t)]=e-stF(s)(2.13)证根据(2.1)式,有17函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)

6、从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)18例7求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO19例8求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为f(t)4A3A2A1AOtt2t3t20利用拉氏变换的线性性质及延迟性质,可得当Re(s)>0时,有

7、e-st

8、<1,所以,上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数,从而21一般地,若L[f(t)]=F(s),则对于任何t>0

9、,有=>函数的周期拓展22例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t23由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以24例10求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)25由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为从而26这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t>0)是周期为T的周期函数,如果且L[f(t)]=F(s),则27初值定理与终值定理28证根据拉氏变换的微分性质,有L[f'(t)]=L[f(t)]-f(0)=sF(s)